Номер 559, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 - номер 559, страница 126.

Условие.

559. Сравните значения выражений:

а) 10⁷ и 2⁸ · 5⁷;
б) 6¹² и 2¹³ · 3¹¹;

в) 25²⁵ и 2⁵⁰ · 3⁵⁰;
г) 63³⁰ и 3⁶⁰ · 5³⁰.

Решение 1.

а) 10⁷ < 2⁸ · 5⁷;
10⁷ < 2⁷ · 2 · 5⁷;
10⁷ < (2 · 5)⁷ · 2;
10⁷ < 10⁷ · 2;

б) 6¹² > 2¹³ · 3¹¹;
6¹² = (2 · 3)¹² =2¹² · 3¹²;
2¹² · 3¹² > 2¹² · 2 · 3¹¹;
3¹¹ · 3 > 2 · 3¹¹;

в) 25²⁵ < 2⁵⁰ · 3⁵⁰;
(5²)²⁵ < (2 · 3)⁵⁰;
5⁵⁰ < 6⁵⁰;

г) 63³⁰ > 3⁶⁰ · 5³⁰;
63³⁰ > 3³⁰ · 3³⁰ · 5³⁰;
63³⁰ > (3 · 3 · 5)³⁰;
63³⁰ > 45³⁰.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для того чтобы сравнить $10^7$ и $2^8 \cdot 5^7$, представим число 10 в виде произведения простых множителей: $10 = 2 \cdot 5$.

Тогда первое выражение можно записать так: $10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7$.

Теперь сравним два выражения: $2^7 \cdot 5^7$ и $2^8 \cdot 5^7$.

Второе выражение можно переписать как $2^8 \cdot 5^7 = 2 \cdot 2^7 \cdot 5^7$.

Мы сравниваем $2^7 \cdot 5^7$ и $2 \cdot (2^7 \cdot 5^7)$. Поскольку $2 > 1$, второе выражение больше первого.

Следовательно, $10^7 < 2^8 \cdot 5^7$.

Ответ: $10^7 < 2^8 \cdot 5^7$.

б)

Сравним $6^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$.

Представим число 6 в виде произведения простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$.

Тогда первое выражение: $6^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12}$.

Теперь нужно сравнить $2^{12} \cdot 3^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$.

Чтобы упростить сравнение, разделим оба выражения на их общую часть, например, на $2^{12} \cdot 3^{11}$.

Для первого выражения получаем: $\frac{2^{12} \cdot 3^{12}}{2^{12} \cdot 3^{11}} = 3^{12-11} = 3^1 = 3$.

Для второго выражения получаем: $\frac{2^{13} \cdot 3^{11}}{2^{12} \cdot 3^{11}} = 2^{13-12} = 2^1 = 2$.

Поскольку $3 > 2$, первое исходное выражение больше второго.

Ответ: $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$.

в)

Сравним $25^{25}$ и $2^{50} \cdot 3^{50}$.

Преобразуем оба выражения, чтобы привести их к степеням с одинаковым показателем.

Первое выражение: $25^{25} = (5^2)^{25} = 5^{2 \cdot 25} = 5^{50}$.

Второе выражение: $2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50}$.

Теперь сравним $5^{50}$ и $6^{50}$. Так как показатели степеней одинаковы (50), нужно сравнить их основания.

Сравниваем основания: $5 < 6$.

Следовательно, $5^{50} < 6^{50}$, а значит и $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$.

Ответ: $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$.

г)

Сравним $63^{30}$ и $3^{60} \cdot 5^{30}$.

Преобразуем оба выражения, приведя их к общему основанию или показателю, где это возможно.

Разложим основание первого выражения на простые множители: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.

Тогда первое выражение: $63^{30} = (3^2 \cdot 7)^{30} = (3^2)^{30} \cdot 7^{30} = 3^{60} \cdot 7^{30}$.

Теперь сравним выражения $3^{60} \cdot 7^{30}$ и $3^{60} \cdot 5^{30}$.

Оба выражения имеют общий множитель $3^{60}$. Мы можем сократить его и сравнить оставшиеся части: $7^{30}$ и $5^{30}$.

Поскольку показатели степеней одинаковы (30), сравниваем основания: $7 > 5$.

Следовательно, $7^{30} > 5^{30}$, а значит и $3^{60} \cdot 7^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$.

Ответ: $63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$.