Номер 554, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

554. Упростите:

а) (−1)ⁿ · (−1)ⁿ; б) (−1)²ⁿ : (−1)³.

а) Чтобы упростить выражение $(-1)^n \cdot (-1)^n$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$(-1)^n \cdot (-1)^n = (-1)^{n+n} = (-1)^{2n}$.

Показатель степени $2n$ является четным числом при любом целом значении $n$, так как он представляет собой произведение двойки и целого числа. Любое отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат. В частности, $(-1)$ в любой четной степени всегда равно 1.

Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$.

Ответ: $1$.

б) Чтобы упростить выражение $(-1)^{2n} : (-1)^3$, можно пойти двумя путями.

Способ 1: Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это свойство:

$(-1)^{2n} : (-1)^3 = (-1)^{2n-3}$.

Теперь определим четность показателя степени $2n-3$. Поскольку $2n$ — это всегда четное число для любого целого $n$, а 3 — нечетное число, разность четного и нечетного чисел всегда является нечетным числом. Следовательно, показатель $2n-3$ является нечетным.

Возведение $(-1)$ в любую нечетную степень всегда дает в результате $-1$.

Значит, $(-1)^{2n-3} = -1$.

Способ 2: Вычислим значение каждой степени отдельно.

Как мы установили в пункте а), показатель $2n$ всегда является четным числом, поэтому $(-1)^{2n} = 1$.

Показатель 3 является нечетным числом, поэтому $(-1)^3 = -1 \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$.

Теперь выполним деление:

$1 : (-1) = -1$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $-1$.