Номер 550, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 - номер 550, страница 125.

Условие.

550. Найдите значение выражения:

Решение 1.

а) 13¹⁰⁰ : 13⁹⁸ = 13¹⁰⁰⁻⁹⁸ =
= 13² = 169;

б) $\frac{3^8·2^7}{3^6·2^5}=3^{8-6} · 2^{7-5} =$

= 3² ⋅ 2² = 9 ⋅ 4 = 36;

в) 2¹⁴ : 8⁴ = 2¹⁴ : (2³)⁴ =
2¹⁴ : 2¹² = 2¹⁴⁻¹² = 2² = 4;

г) $\frac{9^5·5^9}{3^9·5^{10}}=\frac{{\left(3^2\right)}^5·1}{3^9·5}=\frac{3^{10}}{3^9·5}=$

$=\frac{3}{5}=0,6;$

д) 5¹⁰ : 25⁴ = 5¹⁰ : (5²)⁴ =
5¹⁰ : 5⁸ = 5¹⁰⁻⁸ = 5² = 25;

е) $\frac{3^8·5^8}{3^{10}·5^7}=\frac{1·5}{3^2·1}=\frac{5}{9};$

ж) $\frac{{24}^6}{2^8·3^5}=\frac{{\left(8·3\right)}^6}{2^8·3^5}=\frac{8^6·3^6}{2^8·3^5}=$

$=\frac{{\left(2^3\right)}^6·5}{2^8}=\frac{2^{18}·3}{2^8}=2^{10}·3=$

= 1024 ⋅ 3 = 3072;

з) $\frac{{27}^3·6^5}{{12}^3}=\frac{{\left(3^3\right)}^3·{\left(2·3\right)}^5}{{\left(4·3\right)}^3}=$

$=\frac{3^9·2^5·3^5}{{\left(2^2\right)}^3·3^3}=\frac{3^{14}·2^5}{3^3·2^6}=\frac{3^{11}·1}{1·2}=$

$=\frac{3^{11}}{2}=\frac{3^{10}·3}{2}=\frac{59049·3}{2}=$

$=\frac{177147}{2}=88573,5.$

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $13^{100} : 13^{98}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$13^{100} : 13^{98} = 13^{100-98} = 13^2 = 169$.
Ответ: 169.

б) $\frac{3^8 \cdot 2^7}{3^6 \cdot 2^5}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{3^8}{3^6} \cdot \frac{2^7}{2^5} = 3^{8-6} \cdot 2^{7-5} = 3^2 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36$.
Ответ: 36.

в) $2^{14} : 8^4$
Чтобы выполнить деление, приведем степени к одному основанию $2$. Так как $8=2^3$, то $8^4 = (2^3)^4$.
По свойству степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $8^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.
Теперь выполним деление: $2^{14} : 2^{12} = 2^{14-12} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4.

г) $\frac{9^5 \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}}$
Приведем степень $9^5$ к основанию $3$. Так как $9=3^2$, то $9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$.
Подставим полученное значение в выражение:
$\frac{3^{10} \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}} = \frac{3^{10}}{3^9} \cdot \frac{5^9}{5^{10}} = 3^{10-9} \cdot 5^{9-10} = 3^1 \cdot 5^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

д) $5^{10} : 25^4$
Приведем степени к одному основанию $5$. Так как $25=5^2$, то $25^4 = (5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.
Выполним деление: $5^{10} : 5^8 = 5^{10-8} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

е) $\frac{3^8 \cdot 5^8}{3^{10} \cdot 5^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней:
$\frac{3^8}{3^{10}} \cdot \frac{5^8}{5^7} = 3^{8-10} \cdot 5^{8-7} = 3^{-2} \cdot 5^1 = \frac{1}{3^2} \cdot 5 = \frac{1}{9} \cdot 5 = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$.

ж) $\frac{24^6}{2^8 \cdot 3^5}$
Разложим основание $24$ в числителе на простые множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Тогда $24^6 = (2^3 \cdot 3)^6 = (2^3)^6 \cdot 3^6 = 2^{18} \cdot 3^6$.
Подставим в выражение и упростим:
$\frac{2^{18} \cdot 3^6}{2^8 \cdot 3^5} = \frac{2^{18}}{2^8} \cdot \frac{3^6}{3^5} = 2^{18-8} \cdot 3^{6-5} = 2^{10} \cdot 3^1 = 1024 \cdot 3 = 3072$.
Ответ: 3072.

з) $\frac{27^3 \cdot 6^5}{12^3}$
Разложим основания $27, 6, 12$ на простые множители:
$27 = 3^3 \implies 27^3 = (3^3)^3 = 3^9$.
$6 = 2 \cdot 3 \implies 6^5 = (2 \cdot 3)^5 = 2^5 \cdot 3^5$.
$12 = 2^2 \cdot 3 \implies 12^3 = (2^2 \cdot 3)^3 = (2^2)^3 \cdot 3^3 = 2^6 \cdot 3^3$.
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{3^9 \cdot (2^5 \cdot 3^5)}{2^6 \cdot 3^3} = \frac{2^5 \cdot 3^{9+5}}{2^6 \cdot 3^3} = \frac{2^5 \cdot 3^{14}}{2^6 \cdot 3^3} = 2^{5-6} \cdot 3^{14-3} = 2^{-1} \cdot 3^{11} = \frac{3^{11}}{2}$.
Вычислим $3^{11}$: $3^{11} = 177147$.
Тогда результат равен $\frac{177147}{2} = 88573,5$.
Ответ: 88573,5.