Номер 544, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 - номер 544, страница 125.

Условие.

544. Имеет ли уравнение х⁶ − х⁵ + х⁴ + х³ + х² − х + 1 = 0 отрицательные корни?

Решение 1.

х⁶ − х⁵ + х⁴ - х³ + х² − х + 1 = 0
(х⁶ + х⁴ + х² + 1) - (х⁵ + х³ + х) = 0

Уравнение имеет корни, если
х⁶ + х⁴ + х² + 1 > 0 и
х⁵ + х³ + х > 0.

Если x < 0, то х⁵ + х³ + х < 0.

Значит, уравнение отрицательных корней не имеет.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, имеет ли уравнение $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0$ отрицательные корни, исследуем знак левой части уравнения при $x < 0$.

Пусть $x$ — произвольное отрицательное число. Проанализируем знак каждого слагаемого в выражении $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$.
1. Слагаемое $x^6$: так как $x < 0$ и показатель степени 6 — чётное число, то $x^6$ будет положительным числом ($x^6 > 0$).
2. Слагаемое $-x^5$: так как $x < 0$ и показатель степени 5 — нечётное число, то $x^5$ будет отрицательным числом ($x^5 < 0$). Соответственно, $-x^5$ будет положительным числом ($-x^5 > 0$).
3. Слагаемое $x^4$: показатель степени 4 — чётное число, поэтому $x^4 > 0$.
4. Слагаемое $-x^3$: показатель степени 3 — нечётное число, поэтому $x^3 < 0$. Соответственно, $-x^3 > 0$.
5. Слагаемое $x^2$: показатель степени 2 — чётное число, поэтому $x^2 > 0$.
6. Слагаемое $-x$: так как $x < 0$, то $-x$ — положительное число ($-x > 0$).
7. Последнее слагаемое — это $1$, которое также является положительным числом.

Таким образом, при любом отрицательном значении $x$ левая часть уравнения представляет собой сумму семи строго положительных слагаемых:

$x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = \underbrace{x^6}_{>0} + \underbrace{(-x^5)}_{>0} + \underbrace{x^4}_{>0} + \underbrace{(-x^3)}_{>0} + \underbrace{x^2}_{>0} + \underbrace{(-x)}_{>0} + \underbrace{1}_{>0}$

Сумма нескольких положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, для любого $x < 0$ значение левой части уравнения строго больше нуля:

$x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 > 0$

Поскольку левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю при отрицательных значениях $x$, уравнение не имеет отрицательных корней.

Ответ: нет, данное уравнение не имеет отрицательных корней.