Номер 540, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

540. Какие из чисел −3, −2, −1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:

Чтобы определить, какие из чисел $-3, -2, -1, 1, 2, 3$ являются корнями каждого уравнения, подставим их поочередно в каждое уравнение и проверим, выполняется ли равенство.

а) Для уравнения $x^4 = 81$ проверим каждое из чисел:
При $x = -3$: $(-3)^4 = 81$. Равенство верно, значит, $-3$ является корнем.
При $x = -2$: $(-2)^4 = 16$. $16 \neq 81$. Равенство неверно.
При $x = -1$: $(-1)^4 = 1$. $1 \neq 81$. Равенство неверно.
При $x = 1$: $1^4 = 1$. $1 \neq 81$. Равенство неверно.
При $x = 2$: $2^4 = 16$. $16 \neq 81$. Равенство неверно.
При $x = 3$: $3^4 = 81$. Равенство верно, значит, $3$ является корнем.
Ответ: $-3; 3$.

б) Для уравнения $x^6 = 64$ проверим каждое из чисел:
При $x = -3$: $(-3)^6 = 729$. $729 \neq 64$. Равенство неверно.
При $x = -2$: $(-2)^6 = 64$. Равенство верно, значит, $-2$ является корнем.
При $x = -1$: $(-1)^6 = 1$. $1 \neq 64$. Равенство неверно.
При $x = 1$: $1^6 = 1$. $1 \neq 64$. Равенство неверно.
При $x = 2$: $2^6 = 64$. Равенство верно, значит, $2$ является корнем.
При $x = 3$: $3^6 = 729$. $729 \neq 64$. Равенство неверно.
Ответ: $-2; 2$.

в) Для уравнения $x^2 - x = 2$ или $x^2 - x - 2 = 0$ проверим каждое из чисел:
При $x = -3$: $(-3)^2 - (-3) = 9 + 3 = 12$. $12 \neq 2$. Равенство неверно.
При $x = -2$: $(-2)^2 - (-2) = 4 + 2 = 6$. $6 \neq 2$. Равенство неверно.
При $x = -1$: $(-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$. Равенство верно, значит, $-1$ является корнем.
При $x = 1$: $1^2 - 1 = 0$. $0 \neq 2$. Равенство неверно.
При $x = 2$: $2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. Равенство верно, значит, $2$ является корнем.
При $x = 3$: $3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$. $6 \neq 2$. Равенство неверно.
Ответ: $-1; 2$.

г) Для уравнения $x^4 + x^3 = 6x^2$ перенесем все члены в левую часть: $x^4 + x^3 - 6x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(x^2 + x - 6) = 0$.
Это уравнение распадается на два: $x^2 = 0$ (корень $x=0$, которого нет в списке) и $x^2 + x - 6 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Оба этих корня есть в заданном списке чисел. Проверим:
При $x = -3$: $(-3)^4 + (-3)^3 = 81 - 27 = 54$; $6(-3)^2 = 6 \cdot 9 = 54$. Равенство $54=54$ верно.
При $x = 2$: $2^4 + 2^3 = 16 + 8 = 24$; $6(2)^2 = 6 \cdot 4 = 24$. Равенство $24=24$ верно.
Ответ: $-3; 2$.

д) Для уравнения $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$ применим метод группировки:
$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$
$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$
$(x^2 - 4)(x - 3) = 0$
$(x - 2)(x + 2)(x - 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$. Все три корня содержатся в предложенном списке.
Проверим подстановкой:
При $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -8 - 12 + 8 + 12 = 0$. Верно.
При $x = 2$: $2^3 - 3(2)^2 - 4(2) + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$. Верно.
При $x = 3$: $3^3 - 3(3)^2 - 4(3) + 12 = 27 - 27 - 12 + 12 = 0$. Верно.
Ответ: $-2; 2; 3$.

е) Для уравнения $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$ применим метод группировки:
$(x^3 + 3x^2) - (x + 3) = 0$
$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$
$(x^2 - 1)(x + 3) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -3$. Все три корня содержатся в предложенном списке.
Проверим подстановкой:
При $x = -3$: $(-3)^3 + 3(-3)^2 - (-3) - 3 = -27 + 27 + 3 - 3 = 0$. Верно.
При $x = -1$: $(-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) - 3 = -1 + 3 + 1 - 3 = 0$. Верно.
При $x = 1$: $1^3 + 3(1)^2 - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0$. Верно.
Ответ: $-3; -1; 1$.