Номер 541, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 - номер 541, страница 125.

Условие.

541. Докажите, что не имеет корней уравнение:

а) х² + 1 = 0; б) 2х⁶ + 3х⁴ + х² + 1 = 0.

Решение 1.

а) х² + 1 = 0;
x² = -1;
т.к. x² ≥ 0, то уравнение не имеет корней;

б) 2х⁶ + 3х⁴ + х² + 1 = 0;
2х⁶ + 3х⁴ + х² + 1 > 0 при любых x.
Значит, уравнение не имеет корней.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Рассмотрим уравнение $x^2 + 1 = 0$. Чтобы доказать, что оно не имеет корней, проанализируем его левую часть.

Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа $x$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Если к этому неотрицательному значению $x^2$ прибавить 1, то полученная сумма всегда будет больше или равна 1. Запишем это в виде неравенства:

$x^2 + 1 \ge 0 + 1$

$x^2 + 1 \ge 1$

Поскольку левая часть уравнения, $x^2 + 1$, всегда больше или равна 1, она ни при каком значении $x$ не может быть равна 0. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим уравнение $2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0$. Проанализируем левую часть уравнения.

Все степени переменной $x$ в этом уравнении являются четными ($6, 4, 2$). Для любого действительного числа $x$ его четная степень является неотрицательной величиной. Следовательно:

$x^6 \ge 0$
$x^4 \ge 0$
$x^2 \ge 0$

Поскольку коэффициенты 2 и 3 при $x^6$ и $x^4$ положительны, произведения $2x^6$ и $3x^4$ также будут неотрицательными. Таким образом, каждое из первых трех слагаемых в левой части уравнения неотрицательно: $2x^6 \ge 0$, $3x^4 \ge 0$, $x^2 \ge 0$.

Сумма этих неотрицательных слагаемых также будет неотрицательной:

$2x^6 + 3x^4 + x^2 \ge 0$

Если к этой сумме прибавить 1, то итоговое выражение будет всегда больше или равно 1:

$2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 \ge 0 + 1$

$2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 \ge 1$

Так как левая часть уравнения всегда не меньше 1, она не может равняться нулю ни при каких действительных значениях $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: Что и требовалось доказать.