Номер 539, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 539, страница 125.

539. Докажите, что при любом натуральном п значение дроби является натуральным числом:

а) 10ⁿ − 19; б) 10ⁿ + 89; в) 10ⁿ − 43.

а) Чтобы доказать, что значение дроби является натуральным числом, необходимо показать, что ее числитель $10^n - 1$ делится нацело на знаменатель 9 при любом натуральном $n$, и что результат деления является натуральным числом.

Рассмотрим числитель. Число $10^n$ представляет собой запись, состоящую из цифры 1 и $n$ нулей. Например, $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$ и так далее. Тогда число $10^n - 1$ представляет собой число, состоящее из $n$ цифр 9. Например:
при $n=1: 10^1 - 1 = 9$;
при $n=2: 10^2 - 1 = 99$;
при $n=3: 10^3 - 1 = 999$.

Число, состоящее из $n$ девяток, всегда делится на 9. Это можно проверить с помощью признака делимости на 9: сумма цифр числа $10^n - 1$ равна $9 \times n$, что очевидно делится на 9. Результатом деления будет число, состоящее из $n$ единиц, которое всегда является натуральным. Например, $99/9 = 11$. Таким образом, дробь $\frac{10^n - 1}{9}$ при любом натуральном $n$ равна натуральному числу.

Ответ: Доказано, что значение дроби является натуральным числом.

б) Докажем, что числитель дроби $10^n + 8$ делится на 9 при любом натуральном $n$. Для этого воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим число $10^n + 8$. При $n=1$ это число $10+8=18$. Сумма цифр $1+8=9$, $9$ делится на $9$. При $n=2$ это число $100+8=108$. Сумма цифр $1+0+8=9$, $9$ делится на $9$. При $n=3$ это число $1000+8=1008$. Сумма цифр $1+0+0+8=9$, $9$ делится на $9$.

В общем случае для любого натурального $n \geq 1$, число $10^n + 8$ будет иметь первую цифру 1, последнюю цифру 8, а между ними $n-1$ нулей (если $n>1$). Сумма цифр этого числа всегда будет равна $1 + 0 + \dots + 0 + 8 = 9$. Так как сумма цифр равна 9, она делится на 9. Следовательно, само число $10^n + 8$ делится на 9. Поскольку $10^n + 8$ является положительным, результат деления будет натуральным числом.

Ответ: Доказано, что значение дроби является натуральным числом.

в) Докажем, что числитель дроби $10^n - 4$ делится на 3 при любом натуральном $n$. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Рассмотрим, как выглядит число $10^n - 4$:
При $n=1: 10 - 4 = 6$.
При $n=2: 100 - 4 = 96$.
При $n=3: 1000 - 4 = 996$.
В общем случае при $n>1$, число $10^n - 4$ будет состоять из $n-1$ цифр 9 и последней цифры 6.

Найдем сумму цифр числа $10^n - 4$. При $n=1$ сумма цифр равна 6. $6$ делится на $3$. При $n>1$ сумма цифр равна $\underbrace{9+9+\dots+9}_{n-1 \text{ раз}} + 6 = 9(n-1) + 6$. Каждое слагаемое в этой сумме, $9(n-1)$ и $6$, делится на 3. Значит, и вся сумма делится на 3. Следовательно, число $10^n - 4$ делится на 3 при любом натуральном $n$. Так как при $n \geq 1$, $10^n-4 > 0$, то результат деления будет натуральным числом.

Ответ: Доказано, что значение дроби является натуральным числом.