Страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

539. Докажите, что при любом натуральном п значение дроби является натуральным числом:

а) 10ⁿ − 19; б) 10ⁿ + 89; в) 10ⁿ − 43.

а) Чтобы доказать, что значение дроби является натуральным числом, необходимо показать, что ее числитель $10^n - 1$ делится нацело на знаменатель 9 при любом натуральном $n$, и что результат деления является натуральным числом.

Рассмотрим числитель. Число $10^n$ представляет собой запись, состоящую из цифры 1 и $n$ нулей. Например, $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$ и так далее. Тогда число $10^n - 1$ представляет собой число, состоящее из $n$ цифр 9. Например:
при $n=1: 10^1 - 1 = 9$;
при $n=2: 10^2 - 1 = 99$;
при $n=3: 10^3 - 1 = 999$.

Число, состоящее из $n$ девяток, всегда делится на 9. Это можно проверить с помощью признака делимости на 9: сумма цифр числа $10^n - 1$ равна $9 \times n$, что очевидно делится на 9. Результатом деления будет число, состоящее из $n$ единиц, которое всегда является натуральным. Например, $99/9 = 11$. Таким образом, дробь $\frac{10^n - 1}{9}$ при любом натуральном $n$ равна натуральному числу.

Ответ: Доказано, что значение дроби является натуральным числом.

б) Докажем, что числитель дроби $10^n + 8$ делится на 9 при любом натуральном $n$. Для этого воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим число $10^n + 8$. При $n=1$ это число $10+8=18$. Сумма цифр $1+8=9$, $9$ делится на $9$. При $n=2$ это число $100+8=108$. Сумма цифр $1+0+8=9$, $9$ делится на $9$. При $n=3$ это число $1000+8=1008$. Сумма цифр $1+0+0+8=9$, $9$ делится на $9$.

В общем случае для любого натурального $n \geq 1$, число $10^n + 8$ будет иметь первую цифру 1, последнюю цифру 8, а между ними $n-1$ нулей (если $n>1$). Сумма цифр этого числа всегда будет равна $1 + 0 + \dots + 0 + 8 = 9$. Так как сумма цифр равна 9, она делится на 9. Следовательно, само число $10^n + 8$ делится на 9. Поскольку $10^n + 8$ является положительным, результат деления будет натуральным числом.

Ответ: Доказано, что значение дроби является натуральным числом.

в) Докажем, что числитель дроби $10^n - 4$ делится на 3 при любом натуральном $n$. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Рассмотрим, как выглядит число $10^n - 4$:
При $n=1: 10 - 4 = 6$.
При $n=2: 100 - 4 = 96$.
При $n=3: 1000 - 4 = 996$.
В общем случае при $n>1$, число $10^n - 4$ будет состоять из $n-1$ цифр 9 и последней цифры 6.

Найдем сумму цифр числа $10^n - 4$. При $n=1$ сумма цифр равна 6. $6$ делится на $3$. При $n>1$ сумма цифр равна $\underbrace{9+9+\dots+9}_{n-1 \text{ раз}} + 6 = 9(n-1) + 6$. Каждое слагаемое в этой сумме, $9(n-1)$ и $6$, делится на 3. Значит, и вся сумма делится на 3. Следовательно, число $10^n - 4$ делится на 3 при любом натуральном $n$. Так как при $n \geq 1$, $10^n-4 > 0$, то результат деления будет натуральным числом.

Ответ: Доказано, что значение дроби является натуральным числом.

540. Какие из чисел −3, −2, −1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:

Чтобы определить, какие из чисел $-3, -2, -1, 1, 2, 3$ являются корнями каждого уравнения, подставим их поочередно в каждое уравнение и проверим, выполняется ли равенство.

а) Для уравнения $x^4 = 81$ проверим каждое из чисел:
При $x = -3$: $(-3)^4 = 81$. Равенство верно, значит, $-3$ является корнем.
При $x = -2$: $(-2)^4 = 16$. $16 \neq 81$. Равенство неверно.
При $x = -1$: $(-1)^4 = 1$. $1 \neq 81$. Равенство неверно.
При $x = 1$: $1^4 = 1$. $1 \neq 81$. Равенство неверно.
При $x = 2$: $2^4 = 16$. $16 \neq 81$. Равенство неверно.
При $x = 3$: $3^4 = 81$. Равенство верно, значит, $3$ является корнем.
Ответ: $-3; 3$.

б) Для уравнения $x^6 = 64$ проверим каждое из чисел:
При $x = -3$: $(-3)^6 = 729$. $729 \neq 64$. Равенство неверно.
При $x = -2$: $(-2)^6 = 64$. Равенство верно, значит, $-2$ является корнем.
При $x = -1$: $(-1)^6 = 1$. $1 \neq 64$. Равенство неверно.
При $x = 1$: $1^6 = 1$. $1 \neq 64$. Равенство неверно.
При $x = 2$: $2^6 = 64$. Равенство верно, значит, $2$ является корнем.
При $x = 3$: $3^6 = 729$. $729 \neq 64$. Равенство неверно.
Ответ: $-2; 2$.

в) Для уравнения $x^2 - x = 2$ или $x^2 - x - 2 = 0$ проверим каждое из чисел:
При $x = -3$: $(-3)^2 - (-3) = 9 + 3 = 12$. $12 \neq 2$. Равенство неверно.
При $x = -2$: $(-2)^2 - (-2) = 4 + 2 = 6$. $6 \neq 2$. Равенство неверно.
При $x = -1$: $(-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$. Равенство верно, значит, $-1$ является корнем.
При $x = 1$: $1^2 - 1 = 0$. $0 \neq 2$. Равенство неверно.
При $x = 2$: $2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. Равенство верно, значит, $2$ является корнем.
При $x = 3$: $3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$. $6 \neq 2$. Равенство неверно.
Ответ: $-1; 2$.

г) Для уравнения $x^4 + x^3 = 6x^2$ перенесем все члены в левую часть: $x^4 + x^3 - 6x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(x^2 + x - 6) = 0$.
Это уравнение распадается на два: $x^2 = 0$ (корень $x=0$, которого нет в списке) и $x^2 + x - 6 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Оба этих корня есть в заданном списке чисел. Проверим:
При $x = -3$: $(-3)^4 + (-3)^3 = 81 - 27 = 54$; $6(-3)^2 = 6 \cdot 9 = 54$. Равенство $54=54$ верно.
При $x = 2$: $2^4 + 2^3 = 16 + 8 = 24$; $6(2)^2 = 6 \cdot 4 = 24$. Равенство $24=24$ верно.
Ответ: $-3; 2$.

д) Для уравнения $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$ применим метод группировки:
$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$
$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$
$(x^2 - 4)(x - 3) = 0$
$(x - 2)(x + 2)(x - 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$. Все три корня содержатся в предложенном списке.
Проверим подстановкой:
При $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -8 - 12 + 8 + 12 = 0$. Верно.
При $x = 2$: $2^3 - 3(2)^2 - 4(2) + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$. Верно.
При $x = 3$: $3^3 - 3(3)^2 - 4(3) + 12 = 27 - 27 - 12 + 12 = 0$. Верно.
Ответ: $-2; 2; 3$.

е) Для уравнения $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$ применим метод группировки:
$(x^3 + 3x^2) - (x + 3) = 0$
$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$
$(x^2 - 1)(x + 3) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -3$. Все три корня содержатся в предложенном списке.
Проверим подстановкой:
При $x = -3$: $(-3)^3 + 3(-3)^2 - (-3) - 3 = -27 + 27 + 3 - 3 = 0$. Верно.
При $x = -1$: $(-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) - 3 = -1 + 3 + 1 - 3 = 0$. Верно.
При $x = 1$: $1^3 + 3(1)^2 - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0$. Верно.
Ответ: $-3; -1; 1$.

541. Докажите, что не имеет корней уравнение:

а) х² + 1 = 0; б) 2х⁶ + 3х⁴ + х² + 1 = 0.

а)

Рассмотрим уравнение $x^2 + 1 = 0$. Чтобы доказать, что оно не имеет корней, проанализируем его левую часть.

Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа $x$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Если к этому неотрицательному значению $x^2$ прибавить 1, то полученная сумма всегда будет больше или равна 1. Запишем это в виде неравенства:

$x^2 + 1 \ge 0 + 1$

$x^2 + 1 \ge 1$

Поскольку левая часть уравнения, $x^2 + 1$, всегда больше или равна 1, она ни при каком значении $x$ не может быть равна 0. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим уравнение $2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0$. Проанализируем левую часть уравнения.

Все степени переменной $x$ в этом уравнении являются четными ($6, 4, 2$). Для любого действительного числа $x$ его четная степень является неотрицательной величиной. Следовательно:

$x^6 \ge 0$
$x^4 \ge 0$
$x^2 \ge 0$

Поскольку коэффициенты 2 и 3 при $x^6$ и $x^4$ положительны, произведения $2x^6$ и $3x^4$ также будут неотрицательными. Таким образом, каждое из первых трех слагаемых в левой части уравнения неотрицательно: $2x^6 \ge 0$, $3x^4 \ge 0$, $x^2 \ge 0$.

Сумма этих неотрицательных слагаемых также будет неотрицательной:

$2x^6 + 3x^4 + x^2 \ge 0$

Если к этой сумме прибавить 1, то итоговое выражение будет всегда больше или равно 1:

$2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 \ge 0 + 1$

$2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 \ge 1$

Так как левая часть уравнения всегда не меньше 1, она не может равняться нулю ни при каких действительных значениях $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: Что и требовалось доказать.

542. При каком значении х значение выражения (2х + 3)² равно нулю?

Для того чтобы найти значение переменной $x$, при котором значение выражения $(2x + 3)^2$ равно нулю, необходимо составить и решить уравнение.

Приравниваем данное выражение к нулю:

$(2x + 3)^2 = 0$

Выражение в квадрате равно нулю только в том случае, если само выражение (основание степени) равно нулю. Поэтому мы можем записать:

$2x + 3 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем число 3 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = -3$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-3}{2}$

$x = -1.5$

Таким образом, при $x = -1.5$ значение выражения $(2x + 3)^2$ равно нулю.

Ответ: $x = -1.5$

543. Докажите, что уравнение х⁴ + 3х³ + 2х² + х + 6 = 0 не имеет положительных корней.

Чтобы доказать, что уравнение $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6 = 0$ не имеет положительных корней, необходимо показать, что его левая часть не может равняться нулю при любом положительном значении $x$ (то есть при $x > 0$).

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части уравнения:

• $x^4$: Если $x > 0$, то $x$ в четвертой степени также будет строго положительным числом ($x^4 > 0$).
• $3x^3$: Если $x > 0$, то $x^3 > 0$. Произведение положительного числа 3 на положительное число $x^3$ также будет положительным ($3x^3 > 0$).
• $2x^2$: Аналогично, если $x > 0$, то $x^2 > 0$, и произведение $2x^2$ будет положительным ($2x^2 > 0$).
• $x$: По условию $x$ является положительным числом ($x > 0$).
• $6$: Это положительная константа ($6 > 0$).

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма любого количества положительных чисел всегда является положительным числом.

Следовательно, для любого $x > 0$ значение выражения $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6$ будет строго больше нуля. Более того, оно будет даже больше 6.

Поскольку при любом положительном значении $x$ левая часть уравнения всегда положительна и никогда не может быть равна нулю, у данного уравнения нет положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение не имеет положительных корней.

544. Имеет ли уравнение х⁶ − х⁵ + х⁴ + х³ + х² − х + 1 = 0 отрицательные корни?

Для того чтобы определить, имеет ли уравнение $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0$ отрицательные корни, исследуем знак левой части уравнения при $x < 0$.

Пусть $x$ — произвольное отрицательное число. Проанализируем знак каждого слагаемого в выражении $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$.
1. Слагаемое $x^6$: так как $x < 0$ и показатель степени 6 — чётное число, то $x^6$ будет положительным числом ($x^6 > 0$).
2. Слагаемое $-x^5$: так как $x < 0$ и показатель степени 5 — нечётное число, то $x^5$ будет отрицательным числом ($x^5 < 0$). Соответственно, $-x^5$ будет положительным числом ($-x^5 > 0$).
3. Слагаемое $x^4$: показатель степени 4 — чётное число, поэтому $x^4 > 0$.
4. Слагаемое $-x^3$: показатель степени 3 — нечётное число, поэтому $x^3 < 0$. Соответственно, $-x^3 > 0$.
5. Слагаемое $x^2$: показатель степени 2 — чётное число, поэтому $x^2 > 0$.
6. Слагаемое $-x$: так как $x < 0$, то $-x$ — положительное число ($-x > 0$).
7. Последнее слагаемое — это $1$, которое также является положительным числом.

Таким образом, при любом отрицательном значении $x$ левая часть уравнения представляет собой сумму семи строго положительных слагаемых:

$x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = \underbrace{x^6}_{>0} + \underbrace{(-x^5)}_{>0} + \underbrace{x^4}_{>0} + \underbrace{(-x^3)}_{>0} + \underbrace{x^2}_{>0} + \underbrace{(-x)}_{>0} + \underbrace{1}_{>0}$

Сумма нескольких положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, для любого $x < 0$ значение левой части уравнения строго больше нуля:

$x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 > 0$

Поскольку левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю при отрицательных значениях $x$, уравнение не имеет отрицательных корней.

Ответ: нет, данное уравнение не имеет отрицательных корней.

545. Упростите выражение:

а) a¹⁰a¹²(−a⁵); б) x(−x)(−x⁶); в) y^ky⁸y²; г) bⁿbⁿb³.

а) Для упрощения выражения $a^{10}a^{12}(-a^5)$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала вынесем знак минус за скобки, так как в произведении есть один отрицательный множитель $(-a^5)$.

$a^{10}a^{12}(-a^5) = -(a^{10}a^{12}a^5)$

Теперь сложим показатели степеней с основанием $a$: $10 + 12 + 5 = 27$.

Таким образом, получаем: $-a^{27}$.

Ответ: $-a^{27}$

б) Упростим выражение $x(-x)(-x^6)$.

Сначала определим знак итогового выражения. Произведение двух отрицательных множителей $(-x)$ и $(-x^6)$ дает положительный результат: $(-x) \cdot (-x^6) = x \cdot x^6$.

Тогда все выражение можно переписать так: $x \cdot (x \cdot x^6) = x \cdot x \cdot x^6$.

Используя свойство умножения степеней и помня, что $x=x^1$, сложим показатели: $x^{1+1+6} = x^8$.

Ответ: $x^8$

в) Упростим выражение $y^k y^8 y^2$.

Так как все множители имеют одинаковое основание $y$, мы можем сложить их показатели, используя правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$y^k y^8 y^2 = y^{k+8+2} = y^{k+10}$.

Ответ: $y^{k+10}$

г) Упростим выражение $b^n b^n b^3$.

Так как все множители имеют одинаковое основание $b$, мы можем сложить их показатели, используя правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$b^n b^n b^3 = b^{n+n+3} = b^{2n+3}$.

Ответ: $b^{2n+3}$

546. Представьте выражение в виде степени:

а) Чтобы представить выражение $2^5 \cdot 8$ в виде степени, необходимо привести оба множителя к одному основанию. Основание первого множителя равно 2. Представим число 8 как степень с основанием 2:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Теперь исходное выражение можно записать так:

$2^5 \cdot 8 = 2^5 \cdot 2^3$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$

Ответ: $2^8$

б) Чтобы представить выражение $16 \cdot 64$ в виде степени, приведем оба множителя к общему основанию. Оба числа, 16 и 64, являются степенями числа 2.

Представим 16 как степень с основанием 2:

$16 = 2^4$

Представим 64 как степень с основанием 2:

$64 = 2^6$

Теперь исходное выражение можно записать так:

$16 \cdot 64 = 2^4 \cdot 2^6$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, сложим показатели:

$2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10}$

Ответ: $2^{10}$

в) Чтобы представить выражение $7^n \cdot 343$ в виде степени, приведем число 343 к основанию 7.

Найдем, в какой степени число 7 равно 343:

$7^2 = 49$

$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$

Таким образом, $343 = 7^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$7^n \cdot 343 = 7^n \cdot 7^3$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$7^n \cdot 7^3 = 7^{n+3}$

Ответ: $7^{n+3}$

г) Чтобы представить выражение $81 \cdot 3^k$ в виде степени, приведем число 81 к основанию 3.

Найдем, в какой степени число 3 равно 81:

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

Таким образом, $81 = 3^4$.

Подставим это в исходное выражение:

$81 \cdot 3^k = 3^4 \cdot 3^k$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$3^4 \cdot 3^k = 3^{4+k}$

Ответ: $3^{4+k}$

547. Представьте выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен а⁵:

а) а¹⁰; б) а⁶; в) − а⁴⁰.

а) Чтобы представить выражение $a^{10}$ в виде произведения двух множителей, один из которых равен $a^5$, нам нужно найти второй множитель. Пусть искомый множитель будет $x$. Тогда мы имеем уравнение:
$a^5 \cdot x = a^{10}$
Для того чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $a^5$:
$x = \frac{a^{10}}{a^5}$
Согласно свойству деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем:
$x = a^{10-5} = a^5$
Таким образом, второй множитель равен $a^5$.
Ответ: $a^{10} = a^5 \cdot a^5$.

б) Аналогично, представим выражение $a^6$ в виде произведения, где один из множителей равен $a^5$. Пусть второй множитель — $x$.
$a^5 \cdot x = a^6$
Найдем $x$, разделив $a^6$ на $a^5$:
$x = \frac{a^6}{a^5}$
Используя то же свойство степеней:
$x = a^{6-5} = a^1 = a$
Следовательно, второй множитель равен $a$.
Ответ: $a^6 = a^5 \cdot a$.

в) Теперь представим выражение $-a^{40}$ в виде произведения, где один из множителей равен $a^5$. Обозначим второй множитель через $x$.
$a^5 \cdot x = -a^{40}$
Найдем $x$:
$x = \frac{-a^{40}}{a^5}$
Вынесем знак "минус" за дробь и применим свойство деления степеней:
$x = -(\frac{a^{40}}{a^5}) = -a^{40-5} = -a^{35}$
Значит, второй множитель равен $-a^{35}$.
Ответ: $-a^{40} = a^5 \cdot (-a^{35})$.

548. Замените х степенью с основанием с так, чтобы полученное равенство было тождеством:

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В каждом пункте мы ищем $x$ в виде степени с основанием $c$, то есть $x = c^k$, где $k$ — неизвестный показатель степени.

а) Дано равенство: $c^2 x = c^5$.
Представим $x$ в виде $c^k$. Тогда равенство примет вид: $c^2 \cdot c^k = c^5$.
Используя свойство умножения степеней, получаем: $c^{2+k} = c^5$.
Чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны: $2+k=5$.
Из этого уравнения находим $k$: $k = 5 - 2 = 3$.
Следовательно, $x$ нужно заменить на $c^3$.
Ответ: $x = c^3$.

б) Дано равенство: $x c^5 = c^9$.
Пусть $x = c^k$. Тогда: $c^k \cdot c^5 = c^9$.
По свойству умножения степеней: $c^{k+5} = c^9$.
Приравниваем показатели степеней: $k+5 = 9$.
Находим $k$: $k = 9 - 5 = 4$.
Следовательно, $x$ нужно заменить на $c^4$.
Ответ: $x = c^4$.

в) Дано равенство: $c^6 x = c^{11}$.
Пусть $x = c^k$. Тогда: $c^6 \cdot c^k = c^{11}$.
По свойству умножения степеней: $c^{6+k} = c^{11}$.
Приравниваем показатели степеней: $6+k = 11$.
Находим $k$: $k = 11 - 6 = 5$.
Следовательно, $x$ нужно заменить на $c^5$.
Ответ: $x = c^5$.

г) Дано равенство: $c^4 x = c^{15}$.
Пусть $x = c^k$. Тогда: $c^4 \cdot c^k = c^{15}$.
По свойству умножения степеней: $c^{4+k} = c^{15}$.
Приравниваем показатели степеней: $4+k = 15$.
Находим $k$: $k = 15 - 4 = 11$.
Следовательно, $x$ нужно заменить на $c^{11}$.
Ответ: $x = c^{11}$.

549. Замените частное степенью:

а) Чтобы найти частное двух степеней с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство выражается формулой: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применим это правило к данному выражению:
$b^{15} : b^{12} = b^{15-12} = b^3$.
Ответ: $b^3$.

б) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием. В данном случае основание равно 7.
$7^{89} : 7^{13} = 7^{89-13} = 7^{76}$.
Ответ: $7^{76}$.

в) Переменная $a$ без указания показателя степени эквивалентна $a^1$. Таким образом, выражение можно переписать и решить, используя правило деления степеней:
$a^{11} : a = a^{11} : a^1 = a^{11-1} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

г) Аналогично предыдущим примерам, применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:
$12^{100} : 12^{99} = 12^{100-99} = 12^1 = 12$.
Ответ: $12$.

550. Найдите значение выражения:

а) $13^{100} : 13^{98}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$13^{100} : 13^{98} = 13^{100-98} = 13^2 = 169$.
Ответ: 169.

б) $\frac{3^8 \cdot 2^7}{3^6 \cdot 2^5}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{3^8}{3^6} \cdot \frac{2^7}{2^5} = 3^{8-6} \cdot 2^{7-5} = 3^2 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36$.
Ответ: 36.

в) $2^{14} : 8^4$
Чтобы выполнить деление, приведем степени к одному основанию $2$. Так как $8=2^3$, то $8^4 = (2^3)^4$.
По свойству степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $8^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.
Теперь выполним деление: $2^{14} : 2^{12} = 2^{14-12} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4.

г) $\frac{9^5 \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}}$
Приведем степень $9^5$ к основанию $3$. Так как $9=3^2$, то $9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$.
Подставим полученное значение в выражение:
$\frac{3^{10} \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}} = \frac{3^{10}}{3^9} \cdot \frac{5^9}{5^{10}} = 3^{10-9} \cdot 5^{9-10} = 3^1 \cdot 5^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

д) $5^{10} : 25^4$
Приведем степени к одному основанию $5$. Так как $25=5^2$, то $25^4 = (5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.
Выполним деление: $5^{10} : 5^8 = 5^{10-8} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

е) $\frac{3^8 \cdot 5^8}{3^{10} \cdot 5^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней:
$\frac{3^8}{3^{10}} \cdot \frac{5^8}{5^7} = 3^{8-10} \cdot 5^{8-7} = 3^{-2} \cdot 5^1 = \frac{1}{3^2} \cdot 5 = \frac{1}{9} \cdot 5 = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$.

ж) $\frac{24^6}{2^8 \cdot 3^5}$
Разложим основание $24$ в числителе на простые множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Тогда $24^6 = (2^3 \cdot 3)^6 = (2^3)^6 \cdot 3^6 = 2^{18} \cdot 3^6$.
Подставим в выражение и упростим:
$\frac{2^{18} \cdot 3^6}{2^8 \cdot 3^5} = \frac{2^{18}}{2^8} \cdot \frac{3^6}{3^5} = 2^{18-8} \cdot 3^{6-5} = 2^{10} \cdot 3^1 = 1024 \cdot 3 = 3072$.
Ответ: 3072.

з) $\frac{27^3 \cdot 6^5}{12^3}$
Разложим основания $27, 6, 12$ на простые множители:
$27 = 3^3 \implies 27^3 = (3^3)^3 = 3^9$.
$6 = 2 \cdot 3 \implies 6^5 = (2 \cdot 3)^5 = 2^5 \cdot 3^5$.
$12 = 2^2 \cdot 3 \implies 12^3 = (2^2 \cdot 3)^3 = (2^2)^3 \cdot 3^3 = 2^6 \cdot 3^3$.
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{3^9 \cdot (2^5 \cdot 3^5)}{2^6 \cdot 3^3} = \frac{2^5 \cdot 3^{9+5}}{2^6 \cdot 3^3} = \frac{2^5 \cdot 3^{14}}{2^6 \cdot 3^3} = 2^{5-6} \cdot 3^{14-3} = 2^{-1} \cdot 3^{11} = \frac{3^{11}}{2}$.
Вычислим $3^{11}$: $3^{11} = 177147$.
Тогда результат равен $\frac{177147}{2} = 88573,5$.
Ответ: 88573,5.

551. Упростите выражение:

а) 6^{6 + n} : 6ⁿ; б) 10^{n + 1} : 10^{n ⁻ 1}.

а) Чтобы упростить выражение $6^{n+3} : 6^n$, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

В данном выражении основание $a = 6$. Показатель степени делимого $m = n+3$, а показатель степени делителя $k = n$.

Выполним вычитание показателей:

$6^{n+3} : 6^n = 6^{(n+3) - n} = 6^{n-n+3} = 6^3$.

Теперь вычислим полученное значение:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

Ответ: 216

б) Упростим выражение $10^{n+1} : 10^{n-1}$, используя то же свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^k = a^{m-k}$.

В этом случае основание $a = 10$. Показатель степени делимого $m = n+1$, а показатель степени делителя $k = n-1$.

Выполним вычитание показателей, обращая внимание на раскрытие скобок:

$10^{n+1} : 10^{n-1} = 10^{(n+1) - (n-1)} = 10^{n+1-n+1} = 10^2$.

Вычислим результат:

$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

Ответ: 100

552. Упростите выражение:

$\mathrm{а}) \frac{{18}^{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}+1} · 3^{2\mathrm{n}-1}};$

$\mathrm{б}) \frac{{14}^{\mathrm{n}-1}· {21}^{\mathrm{n}+1}}{{49}^{\mathrm{n}} · 6^{\mathrm{n}}}.$

а)

Чтобы упростить выражение, представим основания степеней в виде произведения простых множителей. Число 18 можно представить как $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{18^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} = \frac{(2 \cdot 3^2)^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}}$

Теперь воспользуемся свойством степени произведения $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$ и свойством степени степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$\frac{2^n \cdot (3^2)^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} = \frac{2^n \cdot 3^{2n}}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^n}{2^{n+1}} \cdot \frac{3^{2n}}{3^{2n-1}} = 2^{n-(n+1)} \cdot 3^{2n-(2n-1)} = 2^{n-n-1} \cdot 3^{2n-2n+1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.

б)

Для упрощения данного выражения разложим основания степеней на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

$49 = 7^2$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{14^{n-1} \cdot 21^{n+1}}{49^n \cdot 6^n} = \frac{(2 \cdot 7)^{n-1} \cdot (3 \cdot 7)^{n+1}}{(7^2)^n \cdot (2 \cdot 3)^n}$

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

$\frac{(2^{n-1} \cdot 7^{n-1}) \cdot (3^{n+1} \cdot 7^{n+1})}{7^{2n} \cdot (2^n \cdot 3^n)}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$\frac{2^{n-1} \cdot 3^{n+1} \cdot 7^{(n-1)+(n+1)}}{2^n \cdot 3^n \cdot 7^{2n}} = \frac{2^{n-1} \cdot 3^{n+1} \cdot 7^{2n}}{2^n \cdot 3^n \cdot 7^{2n}}$

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{n-1}}{2^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{3^n} \cdot \frac{7^{2n}}{7^{2n}} = 2^{(n-1)-n} \cdot 3^{(n+1)-n} \cdot 7^{2n-2n} = 2^{-1} \cdot 3^1 \cdot 7^0$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.