Страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

509. Решите графически уравнение:

а) х² = х + 6; б) х² + 2х − 3 = 0.

а) $x^2 = x + 6$

Для того чтобы решить уравнение графически, необходимо представить левую и правую части уравнения в виде отдельных функций. Построим графики этих функций в одной системе координат.

1. Первая функция — $y = x^2$. Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке (0, 0). Составим таблицу значений для построения:

2. Вторая функция — $y = x + 6$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 6 = 6$. Точка (0, 6).
• Если $x = -2$, то $y = -2 + 6 = 4$. Точка (-2, 4).

3. Построим оба графика в одной системе координат. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения параболы и прямой.

Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты:

• Первая точка пересечения: (-2, 4).
• Вторая точка пересечения: (3, 9).

Абсциссы этих точек равны -2 и 3.

Ответ: -2; 3.

б) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Для графического решения преобразуем уравнение так, чтобы в левой части осталась функция $x^2$. Для этого перенесем остальные члены в правую часть:

$x^2 = -2x + 3$

Теперь, как и в предыдущем пункте, построим графики двух функций в одной системе координат: $y = x^2$ и $y = -2x + 3$.

1. График функции $y = x^2$ — это та же парабола с вершиной в точке (0, 0).

2. График функции $y = -2x + 3$ — это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка (0, 3).
• Если $x = 1$, то $y = -2 \cdot 1 + 3 = 1$. Точка (1, 1).

3. Построим графики параболы и прямой в одной системе координат. Абсциссы точек их пересечения будут являться корнями уравнения.

На графике мы видим две точки пересечения:

• Первая точка пересечения: (-3, 9). (Проверка: $y = (-3)^2 = 9$; $y = -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9$).
• Вторая точка пересечения: (1, 1). (Проверка: $y = 1^2 = 1$; $y = -2(1) + 3 = 1$).

Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

Ответ: -3; 1.

510. (Для работы в парах.) Используя график функции у = х³, изображённый на рисунке 78 (с. 117), решите уравнение:

1) Распределите, кто выполняет задания а), г), а кто − задания б), в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения х³ = а при различных значениях а.

Для решения уравнений вида $x^3 = a$ графическим методом необходимо найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения графика функции $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = a$.

а) $x^3 = 8$

Чтобы решить это уравнение, мы ищем точку пересечения графика функции $y = x^3$ с прямой $y = 8$. Находим на оси ординат значение 8, проводим из этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком функции. Затем из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Поскольку $2^3 = 8$, точка пересечения графиков имеет координаты $(2, 8)$. Следовательно, искомое значение $x$ равно 2.

Ответ: $x = 2$.

б) $x^3 = -1$

Ищем точку пересечения графика $y = x^3$ с прямой $y = -1$. На оси ординат находим значение -1, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком в третьей координатной четверти. Из полученной точки пересечения проводим перпендикуляр к оси абсцисс. Так как $(-1)^3 = -1$, точка пересечения имеет координаты $(-1, -1)$. Таким образом, корень уравнения — это $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

в) $x^3 = 5$

Решаем уравнение, находя пересечение графика $y = x^3$ с прямой $y = 5$. На оси ординат находим значение 5. Проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Точка пересечения будет иметь ординату 5, а ее абсцисса будет решением уравнения. По графику можно определить, что значение $x$ находится между 1 (так как $1^3=1$) и 2 (так как $2^3=8$). Точное значение этого корня записывается как кубический корень из 5.

Ответ: $x = \sqrt[3]{5}$.

г) $x^3 = 0$

Ищем точку пересечения графика $y = x^3$ с прямой $y = 0$. Прямая $y=0$ — это сама ось абсцисс. График функции $y = x^3$ пересекает ось абсцисс в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$. Следовательно, решение уравнения — это $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

3) Вывод о числе корней уравнения $x^3=a$ при различных значениях $a$.

График функции $y = x^3$ является непрерывным и монотонно возрастающим на всей числовой прямой. Его область значений — все действительные числа. Это означает, что любая горизонтальная прямая $y = a$, где $a$ — любое действительное число, пересечет график функции $y = x^3$ ровно в одной точке. Абсцисса этой точки и будет единственным решением уравнения $x^3 = a$.
Рассмотрим разные случаи: - если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график в первой четверти, и уравнение имеет один положительный корень $x = \sqrt[3]{a}$; - если $a = 0$, прямая $y=0$ пересекает график в начале координат, и уравнение имеет один корень $x = 0$; - если $a < 0$, прямая $y=a$ пересекает график в третьей четверти, и уравнение имеет один отрицательный корень $x = \sqrt[3]{a}$.
Таким образом, для любого действительного значения $a$ уравнение $x^3 = a$ всегда имеет ровно один действительный корень.

Ответ: Уравнение $x^3 = a$ имеет ровно один корень при любом значении $a$.

511. Решите графически уравнение:

а) х³ = 4х; б) х³= −х + 3.

а) $x^3 = 4x$

Для графического решения данного уравнения необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = 4x$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая симметрична относительно начала координат. Для её построения найдём значения для нескольких ключевых точек:
при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$; точка $(0, 0)$.
при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$; точка $(1, 1)$.
при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$; точка $(-1, -1)$.
при $x = 2$, $y = 2^3 = 8$; точка $(2, 8)$.
при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$; точка $(-2, -8)$.

2. Построим график функции $y = 4x$. Это прямая, проходящая через начало координат. Для её построения достаточно двух точек:
при $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 = 0$; точка $(0, 0)$.
при $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 = 4$; точка $(1, 4)$.

Совместим оба графика на одной координатной плоскости. Мы увидим, что они пересекаются в трех точках. Из вычисленных ранее координат видно, что это точки с абсциссами $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.
Проверка для $x = -2$: $(-2)^3 = -8$ и $4 \cdot (-2) = -8$. Верно.
Проверка для $x = 0$: $0^3 = 0$ и $4 \cdot 0 = 0$. Верно.
Проверка для $x = 2$: $2^3 = 8$ и $4 \cdot 2 = 8$. Верно.

Таким образом, абсциссы точек пересечения и являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.

б) $x^3 = -x + 3$

Для решения этого уравнения графически построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -x + 3$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Воспользуемся точками, вычисленными в предыдущем пункте: $(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (2, 8), (-2, -8)$.

2. График функции $y = -x + 3$ — это прямая. Для её построения найдём координаты двух точек, например, точек пересечения с осями координат:
при $x = 0$, $y = -0 + 3 = 3$; точка $(0, 3)$.
при $y = 0$, $0 = -x + 3$, откуда $x = 3$; точка $(3, 0)$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Функция $y=x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси, а функция $y = -x + 3$ — строго убывающей. Следовательно, их графики могут пересечься только в одной точке.

Из графика видно, что точка пересечения находится в первой координатной четверти. Оценим абсциссу этой точки:
При $x = 1$, значение первой функции $y = 1^3 = 1$, а второй $y = -1 + 3 = 2$.
При $x = 2$, значение первой функции $y = 2^3 = 8$, а второй $y = -2 + 3 = 1$.
Поскольку при $x=1$ график кубической параболы находится ниже прямой, а при $x=2$ — выше, то точка их пересечения имеет абсциссу, лежащую в интервале $(1, 2)$. Визуально по графику можно определить, что абсцисса точки пересечения приблизительно равна 1,2.

Ответ: $x \approx 1,2$.

512. Сравните значения выражений:

а) Сравним значения выражений $0,3^{16}$ и $(-0,3)^{16}$.
Возведение любого числа в четную степень дает в результате неотрицательное число. В данном случае показатель степени 16 является четным числом. Для любого числа $a$ и четного показателя степени $2n$ справедливо равенство $(-a)^{2n} = a^{2n}$.
Применяя это правило, получаем: $(-0,3)^{16} = 0,3^{16}$.
Следовательно, значения выражений равны.
Ответ: $0,3^{16} = (-0,3)^{16}$.

б) Сравним значения выражений $(-1,9)^{21}$ и $1,9^{21}$.
Возведение отрицательного числа в нечетную степень дает в результате отрицательное число. Так как показатель степени 21 является нечетным, то $(-1,9)^{21}$ будет отрицательным числом.
Выражение $1,9^{21}$ является степенью положительного числа, поэтому его значение положительно.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Ответ: $(-1,9)^{21} < 1,9^{21}$.

в) Сравним значения выражений $-5,6^4$ и $(-5,6)^4$.
В выражении $-5,6^4$ сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса. То есть, $-5,6^4 = -(5,6^4)$. Так как $5,6^4 > 0$, то значение выражения $-5,6^4$ отрицательно.
В выражении $(-5,6)^4$ отрицательное число -5,6 возводится в четную степень 4, поэтому результат будет положительным: $(-5,6)^4 = 5,6^4 > 0$.
Отрицательное число всегда меньше положительного.
Ответ: $-5,6^4 < (-5,6)^4$.

г) Сравним значения выражений $(-1,4)^6$ и $-1,4^6$.
В выражении $(-1,4)^6$ отрицательное число -1,4 возводится в четную степень 6, следовательно, результат будет положительным: $(-1,4)^6 = 1,4^6 > 0$.
В выражении $-1,4^6$ сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса: $-1,4^6 = -(1,4^6) < 0$.
Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $(-1,4)^6 > -1,4^6$.

д) Сравним значения выражений $-64$ и $-2^6$.
Вычислим значение выражения $-2^6$. Согласно порядку выполнения операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем — унарный минус (отрицание).
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Следовательно, $-2^6 = -64$.
Таким образом, значения выражений равны.
Ответ: $-64 = -2^6$.

е) Сравним значения выражений $-0,8^{11}$ и $(-0,8)^{11}$.
В выражении $-0,8^{11}$ сначала выполняется возведение в степень, а затем ставится знак минус: $-0,8^{11} = -(0,8^{11})$.
В выражении $(-0,8)^{11}$ отрицательное число возводится в нечетную степень 11. Результат будет отрицательным. Для любого числа $a$ и нечетного показателя степени $2n+1$ справедливо равенство $(-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}$.
Следовательно, $(-0,8)^{11} = -0,8^{11}$.
Значения выражений равны.
Ответ: $-0,8^{11} = (-0,8)^{11}$.

513. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций у = 8,5х и у = 0,5х − 19,2.

Для нахождения координат точки пересечения графиков двух функций необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих функций. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обеих функций одинаковы. Это значит, что мы можем приравнять правые части уравнений.

Даны две функции:
1) $y = 8,5x$
2) $y = 0,5x - 19,2$

Приравниваем выражения для $y$:
$8,5x = 0,5x - 19,2$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой:
$8,5x - 0,5x = -19,2$

Выполним вычитание в левой части:
$8x = -19,2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{-19,2}{8}$
$x = -2,4$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Теперь необходимо найти ординату (координату $y$). Для этого подставим найденное значение $x$ в уравнение любой из двух исходных функций. Удобнее использовать первое уравнение $y = 8,5x$:
$y = 8,5 \cdot (-2,4)$
$y = -20,4$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(-2,4; -20,4)$.

Ответ: $(-2,4; -20,4)$.

514. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $-0,6a^3b(-2a^2b^3)^3$ сначала возведем в степень второй множитель, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^ny^n$ и свойство степени степени $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(-2a^2b^3)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3 = -8a^6b^9$.
Теперь умножим полученный одночлен на первый множитель, перемножая коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (применяя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$-0,6a^3b \cdot (-8a^6b^9) = (-0,6 \cdot -8) \cdot (a^3 \cdot a^6) \cdot (b^1 \cdot b^9) = 4,8a^{3+6}b^{1+9} = 4,8a^9b^{10}$.
Ответ: $4,8a^9b^{10}$.

б) Чтобы упростить выражение $0,8xy^4(-6xy^4)^2$, сначала возведем второй множитель в квадрат:
$(-6xy^4)^2 = (-6)^2 \cdot x^2 \cdot (y^4)^2 = 36x^2y^8$.
Затем выполним умножение одночленов:
$0,8xy^4 \cdot 36x^2y^8 = (0,8 \cdot 36) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y^4 \cdot y^8) = 28,8x^{1+2}y^{4+8} = 28,8x^3y^{12}$.
Ответ: $28,8x^3y^{12}$.

в) Чтобы упростить выражение $-a^4b^7(-3ab)^2$, сначала возведем второй множитель в квадрат:
$(-3ab)^2 = (-3)^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 9a^2b^2$.
Теперь выполним умножение:
$-a^4b^7 \cdot 9a^2b^2 = (-1 \cdot 9) \cdot (a^4 \cdot a^2) \cdot (b^7 \cdot b^2) = -9a^{4+2}b^{7+2} = -9a^6b^9$.
Ответ: $-9a^6b^9$.

г) Для упрощения выражения $(7x^2y)^2 \cdot (-7y^{11})$ сначала возведем первый множитель в квадрат:
$(7x^2y)^2 = 7^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 = 49x^4y^2$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель:
$49x^4y^2 \cdot (-7y^{11}) = (49 \cdot -7) \cdot x^4 \cdot (y^2 \cdot y^{11}) = -343x^4y^{2+11} = -343x^4y^{13}$.
Ответ: $-343x^4y^{13}$.

д) Для упрощения выражения $(-ac)^6 \cdot (-2a^2c)^5$ возведем каждый множитель в соответствующую степень.
Первый множитель: так как степень четная, минус исчезает: $(-ac)^6 = a^6c^6$.
Второй множитель: так как степень нечетная, минус сохраняется: $(-2a^2c)^5 = (-2)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot c^5 = -32a^{10}c^5$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$a^6c^6 \cdot (-32a^{10}c^5) = -32 \cdot (a^6 \cdot a^{10}) \cdot (c^6 \cdot c^5) = -32a^{6+10}c^{6+5} = -32a^{16}c^{11}$.
Ответ: $-32a^{16}c^{11}$.

е) Для упрощения выражения $3p^2q \cdot (-\frac{1}{3}p^3q)^2$ сначала возведем второй множитель в квадрат:
$(-\frac{1}{3}p^3q)^2 = (-\frac{1}{3})^2 \cdot (p^3)^2 \cdot q^2 = \frac{1}{9}p^6q^2$.
Теперь выполним умножение:
$3p^2q \cdot (\frac{1}{9}p^6q^2) = (3 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (p^2 \cdot p^6) \cdot (q \cdot q^2) = \frac{3}{9}p^{2+6}q^{1+2} = \frac{1}{3}p^8q^3$.
Ответ: $\frac{1}{3}p^8q^3$.

1 Приведите пример одночлена стандартного вида.

Одночлен стандартного вида — это одночлен, в котором на первом месте стоит числовой множитель (называемый коэффициентом), а за ним — произведение степеней различных переменных. Каждая переменная в записи должна встречаться только один раз, и обычно переменные располагаются в алфавитном порядке.

Например, выражение $2x \cdot 7y \cdot x^3$ не является одночленом стандартного вида, поскольку оно содержит два числовых множителя ($2$ и $7$) и переменная $x$ встречается дважды.

Для приведения этого одночлена к стандартному виду необходимо:

1. Найти коэффициент, перемножив все числовые множители: $2 \cdot 7 = 14$.
2. Сгруппировать одинаковые переменные и перемножить их, сложив показатели степеней: $x \cdot x^3 = x^{1+3} = x^4$.
3. Записать итоговый одночлен, поставив коэффициент на первое место, а за ним переменные в алфавитном порядке: $14x^4y$.

Выражение $14x^4y$ является одночленом стандартного вида.

Другие примеры одночленов стандартного вида:

• $-5a^2b$ (коэффициент $-5$, переменные $a, b$)
• $x^3yz^5$ (коэффициент $1$, который не пишется)
• $18$ (одночлен, не содержащий переменных)

Ответ: $8a^3b^2c$.

2 Представьте в стандартном виде одночлен 5аb² · (−3а⁴b) и укажите его коэффициент.

Чтобы представить одночлен в стандартном виде, необходимо перемножить его составляющие: числовые множители (коэффициенты) и степени переменных с одинаковыми основаниями.

Исходное выражение: $5ab^2 \cdot (-3a^4b)$.

Используя переместительный и сочетательный законы умножения, сгруппируем множители:

$(5 \cdot (-3)) \cdot (a \cdot a^4) \cdot (b^2 \cdot b)$

1. Вычислим произведение числовых коэффициентов:

$5 \cdot (-3) = -15$

2. Умножим степени с основанием $a$. По свойству степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учитываем, что $a$ — это $a^1$:

$a \cdot a^4 = a^1 \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$

3. Умножим степени с основанием $b$. Учитываем, что $b$ — это $b^1$:

$b^2 \cdot b = b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$

Теперь соберем все части вместе, чтобы получить одночлен в стандартном виде. Стандартный вид предполагает, что на первом месте стоит числовой коэффициент, а за ним — переменные в алфавитном порядке с их итоговыми степенями.

$-15a^5b^3$

Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду, — это его числовой множитель. В нашем случае это -15.

Ответ: Стандартный вид одночлена: $-15a^5b^3$. Коэффициент: -15.

3 Сформулируйте определение степени одночлена. Приведите пример одночлена пятой степени.

Сформулируйте определение степени одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его состав.

• Если одночлен является числом (константой), отличным от нуля, то его степень считается равной нулю. Например, степень одночлена $12$ равна $0$.
• Степень нулевого одночлена (числа $0$) не определена.

Например, найдём степень одночлена $7a^4b^3c$. Этот одночлен содержит переменные $a$ в четвёртой степени, $b$ в третьей степени и $c$ в первой степени (поскольку $c = c^1$). Чтобы найти степень всего одночлена, нужно сложить показатели степеней всех его переменных:

$4 + 3 + 1 = 8$

Таким образом, степень одночлена $7a^4b^3c$ равна 8.

Ответ: Степенью одночлена является сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Приведите пример одночлена пятой степени.

Одночлен пятой степени — это такой одночлен, у которого сумма показателей степеней всех его переменных равна 5.

Вот несколько примеров таких одночленов:

• Одночлен с одной переменной: $x^5$. Показатель степени равен 5.
• Одночлен с двумя переменными: $3a^2b^3$. Сумма показателей степеней: $2 + 3 = 5$.
• Одночлен с тремя переменными: $-10xyz^3$. Сумма показателей степеней: $1 + 1 + 3 = 5$.

Каждый из приведённых выше одночленов является одночленом пятой степени. В качестве ответа можно привести любой из них или составить свой собственный.

Ответ: $3a^2b^3$.

4 Сформулируйте свойства функции у = х². Как отражаются эти свойства на графике функции у = х²?

Рассмотрим свойства функции $y = x^2$ и их отражение на графике, который называется параболой.

1. Область определения

Свойство: Функция определена для всех действительных чисел, так как любое число можно возвести в квадрат. Математически это записывается как $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Отражение на графике: График функции (парабола) является непрерывной линией, которая простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Для любого значения $x$ на оси Ox можно найти соответствующую точку на параболе.

Ответ: Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. График существует для любого $x$.

2. Область значений

Свойство: Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, значения функции $y$ всегда больше либо равны нулю. Математически это записывается как $E(f) = [0; +\infty)$.

Отражение на графике: Все точки параболы расположены в верхней полуплоскости (над осью Ox) и на самой оси Ox. Самая нижняя точка графика находится на оси Ox, и график никогда не опускается ниже этой оси.

Ответ: Область значений — все неотрицательные числа, $E(f) = [0; +\infty)$. График расположен не ниже оси Ox.

3. Четность

Свойство: Функция является четной. Это означает, что для противоположных значений аргумента значения функции равны: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.

Отражение на графике: График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Если провести вертикальную прямую по оси Oy, то левая и правая ветви параболы будут зеркальным отражением друг друга.

Ответ: Функция четная. График симметричен относительно оси Oy.

4. Нули функции

Свойство: Значение функции равно нулю ($y=0$) только в одной точке: $x^2 = 0 \implies x=0$.

Отражение на графике: График пересекает ось абсцисс (Ox) только в одной точке — начале координат $(0, 0)$. Эта точка также является точкой пересечения с осью ординат.

Ответ: Функция имеет один нуль: $x=0$. График касается оси Ox в точке $(0, 0)$.

5. Промежутки монотонности

Свойство: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Отражение на графике: Если двигаться по графику слева направо, то до вершины $(0,0)$ (то есть для всех $x<0$) график "спускается" вниз — это интервал убывания. После прохождения вершины (то есть для всех $x>0$) график "поднимается" вверх — это интервал возрастания.

Ответ: Функция убывает при $x \in (-\infty; 0]$ и возрастает при $x \in [0; +\infty)$. Левая ветвь параболы направлена вниз, правая — вверх.

6. Экстремумы (точки минимума и максимума)

Свойство: В точке $x=0$ функция принимает свое наименьшее значение, $y_{min}=0$. Это точка минимума. Наибольшего значения у функции нет, так как она неограниченно возрастает.

Отражение на графике: Точка $(0,0)$ является вершиной параболы — это самая низкая точка на всем графике. Ветви параболы направлены вверх, что показывает отсутствие максимального значения.

Ответ: В точке $x=0$ функция имеет минимум, равный 0. Точка $(0,0)$ — точка минимума функции и вершина параболы.

5 Сформулируйте свойства функции у = х³. Как отражаются эти свойства на графике функции у = х³?

Область определения и область значений

Функция $y = x^3$ определена для любого действительного числа $x$, так как возведение в куб является операцией, определенной для всех действительных чисел. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Значения функции также могут быть любыми действительными числами. Для любого числа $a$ можно найти такое $x$, что $x^3 = a$ (а именно, $x = \sqrt[3]{a}$). Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
На графике эти свойства отражаются тем, что он является сплошной линией, которая бесконечно продолжается влево и вправо вдоль оси $Ox$ и бесконечно продолжается вверх и вниз вдоль оси $Oy$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Графически это означает, что график функции — это непрерывная кривая, простирающаяся бесконечно вдоль обеих координатных осей.

Четность

Функция является нечетной. Проверим это, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция нечетная.
На графике это свойство проявляется в виде центральной симметрии относительно начала координат — точки $(0; 0)$. Это значит, что если точка $(a; b)$ принадлежит графику, то и точка $(-a; -b)$ также принадлежит ему. Например, на графике лежат точки $(2; 8)$ и $(-2; -8)$.

Ответ: Функция нечетная. График функции симметричен относительно начала координат.

Точки пересечения с осями координат (нули функции)

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ подставим $x=0$ в уравнение функции: $y = 0^3 = 0$.
Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (нулей функции) приравняем $y$ к нулю: $x^3 = 0$, откуда $x = 0$.
Таким образом, функция имеет единственную точку пересечения с обеими осями — начало координат $(0; 0)$.
На графике это означает, что он проходит через точку $(0; 0)$.

Ответ: Единственная точка пересечения с осями и единственный нуль функции — точка $(0; 0)$. График проходит через начало координат.

Промежутки знакопостоянства

Найдем, на каких промежутках функция принимает положительные и отрицательные значения.
$y > 0 \implies x^3 > 0 \implies x > 0$. Функция положительна на интервале $(0; +\infty)$.
$y < 0 \implies x^3 < 0 \implies x < 0$. Функция отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$.
На графике это отражается тем, что при $x > 0$ он расположен выше оси абсцисс (в I координатной четверти), а при $x < 0$ — ниже оси абсцисс (в III координатной четверти).

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. График расположен в I и III координатных четвертях.

Монотонность

Функция $y = x^3$ является строго возрастающей на всей области определения. Это можно показать, взяв производную: $y' = (x^3)' = 3x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y' = 3x^2 \ge 0$. Производная равна нулю только в одной точке $x=0$, а на остальных промежутках она положительна, следовательно, функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
На графике это свойство проявляется в том, что при движении по нему слева направо (в направлении увеличения $x$) кривая всегда поднимается вверх.

Ответ: Функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. График монотонно возрастает на всем своем протяжении.

Экстремумы и точки перегиба

Поскольку функция является монотонно возрастающей, она не имеет точек локального максимума или минимума (экстремумов).
Для исследования выпуклости найдем вторую производную: $y'' = (3x^2)' = 6x$.
При $x < 0$, $y'' < 0$, следовательно, график функции является выпуклым (направлен выпуклостью вверх).
При $x > 0$, $y'' > 0$, следовательно, график функции является вогнутым (направлен выпуклостью вниз).
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, точка $(0; 0)$ является точкой перегиба.
На графике это видно по изменению направления изгиба кривой: слева от оси $Oy$ она изгибается как "холм", а справа — как "чаша". Точка $(0; 0)$ является точкой, где это изменение происходит.

Ответ: Функция не имеет экстремумов. График является выпуклым на $(-\infty; 0)$ и вогнутым на $(0; +\infty)$. Точка $(0; 0)$ — точка перегиба.