Страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

482. Выполните умножение:

а)

Для того чтобы умножить одночлены $4x$ и $7y$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и переменные по отдельности.

1. Умножаем числовые коэффициенты: $4 \cdot 7 = 28$.

2. Умножаем переменные: $x \cdot y = xy$.

3. Объединяем результаты: $28xy$.

Полное решение: $4x \cdot 7y = (4 \cdot 7) \cdot (x \cdot y) = 28xy$.

Ответ: $28xy$.

б)

Чтобы умножить одночлены $-8x$ и $5x^3$, перемножим их коэффициенты и переменные части.

1. Умножаем числовые коэффициенты: $-8 \cdot 5 = -40$.

2. Умножаем переменные части. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x \cdot x^3 = x^{1+3} = x^4$.

3. Объединяем результаты: $-40x^4$.

Полное решение: $-8x \cdot 5x^3 = (-8 \cdot 5) \cdot (x \cdot x^3) = -40x^4$.

Ответ: $-40x^4$.

в)

Для умножения одночленов $\frac{4}{9}ab^3$ и $\frac{3}{2}ab$ выполним следующие действия:

1. Умножаем числовые коэффициенты: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{12}{18}$. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.

2. Умножаем переменные части для каждой переменной отдельно. Для $a$: $a \cdot a = a^{1+1} = a^2$. Для $b$: $b^3 \cdot b = b^{3+1} = b^4$.

3. Объединяем результаты: $\frac{2}{3}a^2b^4$.

Полное решение: $\frac{4}{9}ab^3 \cdot \frac{3}{2}ab = (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2}) \cdot (a \cdot a) \cdot (b^3 \cdot b) = \frac{2}{3}a^2b^4$.

Ответ: $\frac{2}{3}a^2b^4$.

г)

Умножаем одночлены $x^2y^5$ и $(-6xy^2)$.

1. Умножаем числовые коэффициенты. Коэффициент первого одночлена равен 1: $1 \cdot (-6) = -6$.

2. Умножаем переменные части. Для $x$: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$. Для $y$: $y^5 \cdot y^2 = y^{5+2} = y^7$.

3. Объединяем результаты: $-6x^3y^7$.

Полное решение: $x^2y^5 \cdot (-6xy^2) = (1 \cdot -6) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^5 \cdot y^2) = -6x^3y^7$.

Ответ: $-6x^3y^7$.

д)

Умножаем одночлены $-0,6a^2b$ и $(-10ab^2)$.

1. Умножаем числовые коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $-0,6 \cdot (-10) = 6$.

2. Умножаем переменные части. Для $a$: $a^2 \cdot a = a^{2+1} = a^3$. Для $b$: $b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.

3. Объединяем результаты: $6a^3b^3$.

Полное решение: $-0,6a^2b \cdot (-10ab^2) = (-0,6 \cdot -10) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) = 6a^3b^3$.

Ответ: $6a^3b^3$.

е)

Умножаем одночлены $-\frac{1}{5}m^3n^4$ и $5m^2n^3$.

1. Умножаем числовые коэффициенты: $-\frac{1}{5} \cdot 5 = -\frac{5}{5} = -1$.

2. Умножаем переменные части. Для $m$: $m^3 \cdot m^2 = m^{3+2} = m^5$. Для $n$: $n^4 \cdot n^3 = n^{4+3} = n^7$.

3. Объединяем результаты. Коэффициент -1 обычно не пишется, перед выражением остается только знак "минус": $-m^5n^7$.

Полное решение: $-\frac{1}{5}m^3n^4 \cdot 5m^2n^3 = (-\frac{1}{5} \cdot 5) \cdot (m^3 \cdot m^2) \cdot (n^4 \cdot n^3) = -1 \cdot m^5n^7 = -m^5n^7$.

Ответ: $-m^5n^7$.

483. Перемножьте одночлены:

а) Чтобы перемножить одночлены $-11x^2y$ и $0,3x^2y^2$, необходимо сгруппировать и перемножить их числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями. При умножении степеней их показатели складываются.

$(-11x^2y) \cdot (0,3x^2y^2) = (-11 \cdot 0,3) \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot (y^1 \cdot y^2) = -3,3 \cdot x^{2+2} \cdot y^{1+2} = -3,3x^4y^3$.

Ответ: $-3,3x^4y^3$.

б) Чтобы перемножить одночлены $a^5b$ и $-ab^3c$, представим их как произведение коэффициентов и переменных. Коэффициент первого одночлена равен $1$, а второго $-1$.

$(a^5b) \cdot (-ab^3c) = (1 \cdot (-1)) \cdot (a^5 \cdot a^1) \cdot (b^1 \cdot b^3) \cdot c = -1 \cdot a^{5+1} \cdot b^{1+3} \cdot c = -a^6b^4c$.

Ответ: $-a^6b^4c$.

в) Чтобы перемножить одночлены $4xy$, $-x^2$ и $-y^3$, перемножим их коэффициенты ($4$, $-1$ и $-1$) и переменные с одинаковыми основаниями.

$(4xy) \cdot (-x^2) \cdot (-y^3) = (4 \cdot (-1) \cdot (-1)) \cdot (x^1 \cdot x^2) \cdot (y^1 \cdot y^3) = 4 \cdot x^{1+2} \cdot y^{1+3} = 4x^3y^4$.

Ответ: $4x^3y^4$.

г) Чтобы перемножить одночлены $a^2x^5b$, $-0,6axb^2$ и $0,6a^2b^3$, сгруппируем и перемножим их коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями.

$(a^2x^5b) \cdot (-0,6axb^2) \cdot (0,6a^2b^3) = (1 \cdot (-0,6) \cdot 0,6) \cdot (a^2 \cdot a^1 \cdot a^2) \cdot (b^1 \cdot b^2 \cdot b^3) \cdot (x^5 \cdot x^1) = -0,36 \cdot a^{2+1+2} \cdot b^{1+2+3} \cdot x^{5+1} = -0,36a^5b^6x^6$.

Ответ: $-0,36a^5b^6x^6$.

484. Выполните умножение:

а) Чтобы выполнить умножение $3,5 \cdot 3m$, нужно перемножить числовые коэффициенты и дописать буквенную часть.

$3,5 \cdot 3m = (3,5 \cdot 3) \cdot m = 10,5m$.

Ответ: $10,5m$.

б) Чтобы выполнить умножение $-6ax^3 \cdot 9bx^2$, перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

$-6ax^3 \cdot 9bx^2 = (-6 \cdot 9) \cdot a \cdot b \cdot (x^3 \cdot x^2)$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$.

Получаем: $-54 \cdot a \cdot b \cdot x^5 = -54abx^5$.

Ответ: $-54abx^5$.

в) Чтобы выполнить умножение $-8a^2b^2 \cdot (-8a^3b^5)$, перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

$-8a^2b^2 \cdot (-8a^3b^5) = (-8 \cdot -8) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^5)$.

Выполняем умножение: $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$ и $b^2 \cdot b^5 = b^{2+5} = b^7$.

Получаем: $64 \cdot a^5 \cdot b^7 = 64a^5b^7$.

Ответ: $64a^5b^7$.

г) Чтобы выполнить умножение $ab \cdot (-7ab^2) \cdot 4a^2b$, сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

$ab \cdot (-7ab^2) \cdot 4a^2b = (1 \cdot -7 \cdot 4) \cdot (a \cdot a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b^2 \cdot b)$.

Учитываем, что $a = a^1$ и $b = b^1$.

Выполняем умножение: $a^1 \cdot a^1 \cdot a^2 = a^{1+1+2} = a^4$ и $b^1 \cdot b^2 \cdot b^1 = b^{1+2+1} = b^4$.

Получаем: $-28 \cdot a^4 \cdot b^4 = -28a^4b^4$.

Ответ: $-28a^4b^4$.

д) Чтобы выполнить умножение $10x^2y \cdot (-xy^2) \cdot 0,6x^3$, сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Обратим внимание, что коэффициент у одночлена $(-xy^2)$ равен $-1$.

$10x^2y \cdot (-xy^2) \cdot 0,6x^3 = (10 \cdot -1 \cdot 0,6) \cdot (x^2 \cdot x \cdot x^3) \cdot (y \cdot y^2)$.

Выполняем умножение: $10 \cdot -1 \cdot 0,6 = -6$.

$x^2 \cdot x^1 \cdot x^3 = x^{2+1+3} = x^6$ и $y^1 \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$.

Получаем: $-6 \cdot x^6 \cdot y^3 = -6x^6y^3$.

Ответ: $-6x^6y^3$.

е) Чтобы выполнить умножение $-9ab^2 \cdot 3a^3 \cdot (-4b)$, сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

$-9ab^2 \cdot 3a^3 \cdot (-4b) = (-9 \cdot 3 \cdot -4) \cdot (a \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b)$.

Выполняем умножение коэффициентов: $-9 \cdot 3 \cdot (-4) = -27 \cdot (-4) = 108$.

Выполняем умножение переменных: $a^1 \cdot a^3 = a^{1+3} = a^4$ и $b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$.

Получаем: $108 \cdot a^4 \cdot b^3 = 108a^4b^3$.

Ответ: $108a^4b^3$.

485. Представьте несколькими способами одночлен 6а²b³ в виде произведения двух одночленов стандартного вида.

Чтобы представить одночлен $6a^2b^3$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида, необходимо его числовой коэффициент (6) представить в виде произведения двух чисел, а показатели степеней каждой переменной ($a^2$ и $b^3$) представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых. Существует бесконечное множество таких способов. Приведём несколько примеров.

Способ 1
Представим коэффициент $6$ как произведение $2 \cdot 3$, $a^2$ как $a \cdot a$, и $b^3$ как $b \cdot b^2$. Сгруппировав множители, получим два одночлена: $2ab$ и $3ab^2$.
Проверка: $(2ab) \cdot (3ab^2) = (2 \cdot 3) \cdot a^{1+1} \cdot b^{1+2} = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3 = (2ab) \cdot (3ab^2)$.

Способ 2
Представим коэффициент $6$ как произведение $(-1) \cdot (-6)$, $a^2$ как $a^2 \cdot a^0 = a^2$, и $b^3$ как $b^2 \cdot b$. Сгруппировав множители, получим два одночлена: $-a^2b^2$ и $-6b$.
Проверка: $(-a^2b^2) \cdot (-6b) = ((-1) \cdot (-6)) \cdot a^2 \cdot b^{2+1} = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3 = (-a^2b^2) \cdot (-6b)$.

Способ 3
Представим коэффициент $6$ как произведение $6 \cdot 1$, $a^2$ как $a^0 \cdot a^2 = a^2$, и $b^3$ как $b^3 \cdot b^0 = b^3$. Сгруппировав множители, получим два одночлена: $6b^3$ и $a^2$.
Проверка: $(6b^3) \cdot (a^2) = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3 = (6b^3) \cdot (a^2)$.

Способ 4
Можно использовать и нецелые коэффициенты. Представим $6$ как $12 \cdot 0.5$, $a^2$ как $a \cdot a$, и $b^3$ как $b^3 \cdot b^0 = b^3$. Сгруппировав множители, получим два одночлена: $12ab^3$ и $0.5a$.
Проверка: $(12ab^3) \cdot (0.5a) = (12 \cdot 0.5) \cdot (a \cdot a) \cdot b^3 = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3 = (12ab^3) \cdot (0.5a)$.

486. Представьте одночлен −12х⁴y³ двумя способами в виде произведения:

а) двух одночленов стандартного вида;

б) трёх одночленов стандартного вида.

а) двух одночленов стандартного вида;

Чтобы представить одночлен $-12x^4y^3$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида, необходимо его коэффициент и степени каждой переменной разложить на два множителя. Существует множество способов это сделать. Приведем один из них.

1. Разложим числовой коэффициент $-12$ на два множителя. Например: $-12 = 3 \cdot (-4)$.

2. Разложим переменную $x$ в степени 4 на два множителя, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Например: $x^4 = x \cdot x^3$.

3. Разложим переменную $y$ в степени 3 на два множителя. Например: $y^3 = y^2 \cdot y$.

4. Теперь скомбинируем полученные множители в два одночлена. Пусть первый одночлен состоит из множителей $3, x, y^2$, то есть $3xy^2$. Тогда второй одночлен будет состоять из оставшихся множителей $-4, x^3, y$, то есть $-4x^3y$.

Проверим результат, перемножив полученные одночлены:

$(3xy^2) \cdot (-4x^3y) = (3 \cdot -4) \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y) = -12x^{1+3}y^{2+1} = -12x^4y^3$.

Результат верен.

Ответ: Например, $-12x^4y^3 = (3xy^2) \cdot (-4x^3y)$.

б) трёх одночленов стандартного вида.

Аналогично, чтобы представить одночлен в виде произведения трёх одночленов, разложим его коэффициент и степени переменных на три множителя. Приведем один из возможных вариантов.

1. Разложим коэффициент $-12$ на три множителя. Например: $-12 = (-2) \cdot 2 \cdot 3$.

2. Разложим $x^4$ на три множителя. Сумма степеней должна быть равна 4. Например: $x^4 = x^2 \cdot x \cdot x$.

3. Разложим $y^3$ на три множителя. Сумма степеней должна быть равна 3. Например: $y^3 = y \cdot y \cdot y$.

4. Скомбинируем множители в три одночлена:

• Первый одночлен: $-2x^2y$
• Второй одночлен: $2xy$
• Третий одночлен: $3xy$

Проверим результат умножением:

$(-2x^2y) \cdot (2xy) \cdot (3xy) = (-2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (x^2 \cdot x \cdot x) \cdot (y \cdot y \cdot y) = -12x^{2+1+1}y^{1+1+1} = -12x^4y^3$.

Результат верен.

Ответ: Например, $-12x^4y^3 = (-2x^2y) \cdot (2xy) \cdot (3xy)$.

487. Выполните возведение в степень:

а) Для возведения одночлена $(3x^2)$ в куб (третью степень), необходимо каждый множитель, входящий в состав одночлена, возвести в эту степень. Применяем свойства степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27 \cdot x^{2 \cdot 3} = 27x^6$.
Ответ: $27x^6$.

б) Чтобы возвести одночлен $(4m)$ в квадрат (вторую степень), нужно каждый множитель возвести в эту степень.
$(4m)^2 = 4^2 \cdot m^2 = 16m^2$.
Ответ: $16m^2$.

в) Возводим одночлен $(-2a^4b^2)$ в третью степень. Так как степень нечетная (3), знак минус сохранится. Возводим в степень коэффициент и каждую переменную.
$(-2a^4b^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^2)^3 = -8 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = -8a^{12}b^6$.
Ответ: $-8a^{12}b^6$.

г) Возводим одночлен $(-3x^2y)$ в четвертую степень. Так как степень четная (4), результат будет положительным (минус в четной степени дает плюс).
$(-3x^2y)^4 = (-3)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = 81 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^4 = 81x^8y^4$.
Ответ: $81x^8y^4$.

д) Возводим одночлен $(-a^2bc^3)$ в пятую степень. Степень нечетная (5), поэтому знак минус сохранится. Коэффициент перед $a$ равен -1.
$(-a^2bc^3)^5 = (-1)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot b^5 \cdot (c^3)^5 = -1 \cdot a^{2 \cdot 5} \cdot b^5 \cdot c^{3 \cdot 5} = -a^{10}b^5c^{15}$.
Ответ: $-a^{10}b^5c^{15}$.

е) Возводим одночлен $(-a^3b^2c)$ во вторую степень. Степень четная (2), поэтому результат будет положительным.
$(-a^3b^2c)^2 = (-1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 \cdot c^2 = 1 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} \cdot c^2 = a^6b^4c^2$.
Ответ: $a^6b^4c^2$.

488. Представьте в виде одночлена стандартного вида:

а) Чтобы представить выражение $(2m^3)^4$ в виде одночлена стандартного вида, необходимо возвести в четвертую степень каждый множитель, находящийся в скобках. Для этого используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^k)^n = a^{kn}$.
Применяя эти правила, получаем:
$(2m^3)^4 = 2^4 \cdot (m^3)^4 = 16 \cdot m^{3 \cdot 4} = 16m^{12}$.
Ответ: $16m^{12}$

б) Для выражения $(3a)^2$ применяем правило возведения произведения в степень.
$(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$.
Ответ: $9a^2$

в) Рассмотрим выражение $(-0,6m^3n^2)^3$. Возводим в куб каждый множитель.
$(-0,6m^3n^2)^3 = (-0,6)^3 \cdot (m^3)^3 \cdot (n^2)^3$.
Вычисляем значение числового коэффициента: $(-0,6)^3 = (-0,6) \cdot (-0,6) \cdot (-0,6) = -0,216$.
Возводим в степень переменные, используя свойство $(a^k)^n = a^{kn}$:
$(m^3)^3 = m^{3 \cdot 3} = m^9$.
$(n^2)^3 = n^{2 \cdot 3} = n^6$.
Объединяем полученные части: $-0,216m^9n^6$.
Ответ: $-0,216m^9n^6$

г) Для выражения $(-2xy^3)^2$ возводим в квадрат каждый множитель.
$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2$.
Так как степень четная (2), отрицательный коэффициент становится положительным: $(-2)^2 = 4$.
Возводим в степень переменные: $x^2$ и $(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$.
Собираем одночлен: $4x^2y^6$.
Ответ: $4x^2y^6$

д) Рассмотрим выражение $(-xy^4b^2)^4$. Знак "минус" перед переменными можно рассматривать как множитель $-1$.
$(-xy^4b^2)^4 = (-1)^4 \cdot x^4 \cdot (y^4)^4 \cdot (b^2)^4$.
Поскольку степень четная (4), то $(-1)^4 = 1$. Этот множитель можно не писать.
Возводим в степень переменные: $x^4$, $(y^4)^4 = y^{4 \cdot 4} = y^{16}$ и $(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$.
Результат: $x^4y^{16}b^8$. Для стандартного вида одночлена принято записывать переменные в алфавитном порядке.
$b^8x^4y^{16}$.
Ответ: $b^8x^4y^{16}$

е) Рассмотрим выражение $(-x^2y^3m)^5$.
$(-x^2y^3m)^5 = (-1)^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^3)^5 \cdot m^5$.
Поскольку степень нечетная (5), то $(-1)^5 = -1$.
Возводим в степень переменные: $(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$, $(y^3)^5 = y^{3 \cdot 5} = y^{15}$ и $m^5$.
Собираем одночлен и для стандартного вида записываем переменные в алфавитном порядке: $-m^5x^{10}y^{15}$.
Ответ: $-m^5x^{10}y^{15}$

489. Возведите одночлен:

а) Чтобы возвести одночлен $5x^2y^3$ в квадрат, необходимо каждый множитель этого одночлена возвести в квадрат (во вторую степень). Для этого мы используем свойство возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(5x^2y^3)^2 = 5^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2$

Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности:

1. Коэффициент: $5^2 = 25$

2. Переменная $x$: $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$

3. Переменная $y$: $(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$

Объединив полученные результаты, получаем итоговый одночлен:

$25x^4y^6$

Ответ: $25x^4y^6$

б) Чтобы возвести одночлен $-4ax^3$ в куб, необходимо каждый его множитель возвести в куб (в третью степень).

$(-4ax^3)^3 = (-4)^3 \cdot a^3 \cdot (x^3)^3$

Вычислим значение каждого множителя:

1. Коэффициент: $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$

2. Переменная $a$: $a^3$

3. Переменная $x$: $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$

Объединив результаты, получаем:

$-64a^3x^9$

Ответ: $-64a^3x^9$

в) Чтобы возвести одночлен $-2m^3n^2$ в четвёртую степень, необходимо каждый его множитель возвести в эту степень.

$(-2m^3n^2)^4 = (-2)^4 \cdot (m^3)^4 \cdot (n^2)^4$

Вычислим значение каждого множителя. При возведении отрицательного числа в чётную степень результат будет положительным.

1. Коэффициент: $(-2)^4 = 16$

2. Переменная $m$: $(m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}$

3. Переменная $n$: $(n^2)^4 = n^{2 \cdot 4} = n^8$

Объединив результаты, получаем:

$16m^{12}n^8$

Ответ: $16m^{12}n^8$

г) Чтобы возвести одночлен $-a^2bc^3$ в пятую степень, необходимо каждый его множитель возвести в эту степень. Знак "минус" перед одночленом можно рассматривать как множитель $-1$.

$(-a^2bc^3)^5 = (-1)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot b^5 \cdot (c^3)^5$

Вычислим значение каждого множителя. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат будет отрицательным.

1. Коэффициент: $(-1)^5 = -1$

2. Переменная $a$: $(a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$

3. Переменная $b$: $b^5$

4. Переменная $c$: $(c^3)^5 = c^{3 \cdot 5} = c^{15}$

Объединив результаты, получаем:

$-1 \cdot a^{10}b^5c^{15} = -a^{10}b^5c^{15}$

Ответ: $-a^{10}b^5c^{15}$

490. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) 81х⁴; б) 121a⁶; в) 0,09y¹²; г) 49b⁶.

а) Чтобы представить выражение $81x^4$ в виде квадрата одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого извлечем квадратный корень из числового коэффициента и поделим показатель степени переменной на 2.
Коэффициент 81 является квадратом числа 9, так как $9^2 = 81$.
Показатель степени переменной $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$, так как при возведении степени в степень показатели перемножаются: $x^{2 \cdot 2} = x^4$.
Таким образом, получаем: $81x^4 = 9^2 \cdot (x^2)^2 = (9x^2)^2$.
Ответ: $(9x^2)^2$.

б) Аналогично представим выражение $121a^6$ в виде квадрата.
Найдем квадратный корень из коэффициента 121: $\sqrt{121} = 11$.
Поделим показатель степени переменной $a$ на 2: $6 \div 2 = 3$.
Следовательно, $a^6 = (a^3)^2$.
Собирая все вместе, получаем: $121a^6 = 11^2 \cdot (a^3)^2 = (11a^3)^2$.
Ответ: $(11a^3)^2$.

в) Представим в виде квадрата выражение $0,09y^{12}$.
Коэффициент 0,09 является квадратом числа 0,3, так как $0,3^2 = 0,09$.
Показатель степени переменной $y$ разделим на 2: $12 \div 2 = 6$.
Значит, $y^{12} = (y^6)^2$.
Таким образом, $0,09y^{12} = (0,3)^2 \cdot (y^6)^2 = (0,3y^6)^2$.
Ответ: $(0,3y^6)^2$.

г) Представим выражение $\frac{4}{9}b^6$ в виде квадрата.
Найдем квадратный корень из дробного коэффициента $\frac{4}{9}$. Для этого извлечем корень из числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
Показатель степени переменной $b$ разделим на 2: $6 \div 2 = 3$.
Следовательно, $b^6 = (b^3)^2$.
Объединяя, получаем: $\frac{4}{9}b^6 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot (b^3)^2 = \left(\frac{2}{3}b^3\right)^2$.
Ответ: $\left(\frac{2}{3}b^3\right)^2$.

491. Представьте выражение в виде куба одночлена:

а) 64х⁹; б) 0,001y¹²; в) − 0,008b⁶; г) −827а¹⁵.

а) Чтобы представить выражение $64x^9$ в виде куба одночлена, нужно найти такой одночлен, третья степень которого равна исходному выражению. Для этого необходимо извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатель степени переменной на 3.
Найдем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
Для переменной $x^9$ найдем показатель степени искомого одночлена, разделив 9 на 3: $9 \div 3 = 3$. Получим $x^3$. Проверим: $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$.
Следовательно, искомый одночлен — это $4x^3$, а представление исходного выражения в виде куба: $64x^9 = (4x^3)^3$.

Ответ: $(4x^3)^3$

б) Чтобы представить выражение $0,001y^{12}$ в виде куба одночлена, выполним те же действия.
Найдем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$, так как $(0,1)^3 = 0,001$.
Для переменной $y^{12}$ разделим показатель степени на 3: $12 \div 3 = 4$. Получим $y^4$. Проверим: $(y^4)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12}$.
Следовательно, искомый одночлен — это $0,1y^4$, а представление исходного выражения в виде куба: $0,001y^{12} = (0,1y^4)^3$.

Ответ: $(0,1y^4)^3$

в) Чтобы представить выражение $-0,008b^6$ в виде куба одночлена, извлечем кубический корень из всех его частей.
Найдем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{-0,008} = -0,2$, так как $(-0,2)^3 = -0,008$.
Для переменной $b^6$ разделим показатель степени на 3: $6 \div 3 = 2$. Получим $b^2$. Проверим: $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.
Следовательно, искомый одночлен — это $-0,2b^2$, а представление исходного выражения в виде куба: $-0,008b^6 = (-0,2b^2)^3$.

Ответ: $(-0,2b^2)^3$

г) Чтобы представить выражение $-\frac{8}{27}a^{15}$ в виде куба одночлена, применим тот же метод.
Найдем кубический корень из коэффициента-дроби: $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = -\frac{2}{3}$.
Для переменной $a^{15}$ разделим показатель степени на 3: $15 \div 3 = 5$. Получим $a^5$. Проверим: $(a^5)^3 = a^{5 \cdot 3} = a^{15}$.
Следовательно, искомый одночлен — это $-\frac{2}{3}a^5$, а представление исходного выражения в виде куба: $-\frac{8}{27}a^{15} = (-\frac{2}{3}a^5)^3$.

Ответ: $(-\frac{2}{3}a^5)^3$

492. Представьте каждый из одночленов:

а) 9b²c², 100m²n⁶ в виде квадрата одночлена;

б) −a³b⁶, − 27х⁶b⁹ в виде куба одночлена.

а) Чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении во вторую степень даст исходный. Для этого нужно извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатели степеней у переменных на 2, используя свойство степени $(a^n)^m = a^{nm}$.

Для одночлена $9b^2c^2$: находим квадратный корень из 9, который равен 3. Показатели степеней переменных $b$ и $c$ равны 2. Делим их на 2, получаем 1.
Следовательно, $9b^2c^2 = 3^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = (3bc)^2$.

Для одночлена $100m^2n^6$: находим квадратный корень из 100, который равен 10. Показатель степени у $m$ равен 2, делим на 2, получаем 1. Показатель степени у $n$ равен 6, делим на 2, получаем 3.
Следовательно, $100m^2n^6 = 10^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2 = (10mn^3)^2$.

Ответ: $(3bc)^2$ и $(10mn^3)^2$.

б) Чтобы представить одночлен в виде куба другого одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходный. Для этого нужно извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатели степеней у переменных на 3.

Для одночлена $-a^3b^6$: кубический корень из коэффициента -1 равен -1. Показатель степени у $a$ равен 3, делим на 3, получаем 1. Показатель степени у $b$ равен 6, делим на 3, получаем 2.
Следовательно, $-a^3b^6 = (-1)^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = (-ab^2)^3$.

Для одночлена $-27x^6b^9$: кубический корень из -27 равен -3. Показатель степени у $x$ равен 6, делим на 3, получаем 2. Показатель степени у $b$ равен 9, делим на 3, получаем 3.
Следовательно, $-27x^6b^9 = (-3)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (b^3)^3 = (-3x^2b^3)^3$.

Ответ: $(-ab^2)^3$ и $(-3x^2b^3)^3$.

493. Запишите каждый из одночленов:

а) 16х⁶, 49m²n⁴ и m⁸ в виде квадрата одночлена;

б) a⁹, − 8m³ и 1000х³y⁶ в виде куба одночлена.

а)

Чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатели степеней переменных на 2. Это основано на свойстве степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

• Для одночлена $16x^6$:
  Находим число, квадрат которого равен 16. Это 4, так как $4^2 = 16$.
  Находим степень переменной $x$, которая при возведении в квадрат даст $x^6$. Это $x^3$, так как $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
  Таким образом, $16x^6 = (4x^3)^2$.

• Для одночлена $49m^2n^4$:
  Находим число, квадрат которого равен 49. Это 7, так как $7^2 = 49$.
  Для переменной $m$: $(m^1)^2 = m^2$.
  Для переменной $n$: $(n^2)^2 = n^{2 \cdot 2} = n^4$.
  Таким образом, $49m^2n^4 = (7mn^2)^2$.

• Для одночлена $m^8$:
  Коэффициент равен 1, $1^2=1$.
  Для переменной $m$: $(m^4)^2 = m^{4 \cdot 2} = m^8$.
  Таким образом, $m^8 = (m^4)^2$.

Ответ: $16x^6 = (4x^3)^2$; $49m^2n^4 = (7mn^2)^2$; $m^8 = (m^4)^2$.

б)

Чтобы представить одночлен в виде куба другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в куб даст исходный. Для этого необходимо извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатели степеней переменных на 3.

• Для одночлена $a^9$:
  Коэффициент равен 1, $\sqrt[3]{1} = 1$.
  Для переменной $a$: $(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.
  Таким образом, $a^9 = (a^3)^3$.

• Для одночлена $-8m^3$:
  Находим число, куб которого равен -8. Это -2, так как $(-2)^3 = -8$.
  Для переменной $m$: $(m^1)^3 = m^3$.
  Таким образом, $-8m^3 = (-2m)^3$.

• Для одночлена $1000x^3y^6$:
  Находим число, куб которого равен 1000. Это 10, так как $10^3 = 1000$.
  Для переменной $x$: $(x^1)^3 = x^3$.
  Для переменной $y$: $(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$.
  Таким образом, $1000x^3y^6 = (10xy^2)^3$.

Ответ: $a^9 = (a^3)^3$; $-8m^3 = (-2m)^3$; $1000x^3y^6 = (10xy^2)^3$.