Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

443. Выполните возведение в степень:

а) Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. Согласно свойству степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(xy)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4y^4$.

Ответ: $x^4y^4$.

б) Используя то же правило для трех множителей, возводим каждый из них в пятую степень:

$(abc)^5 = a^5 \cdot b^5 \cdot c^5 = a^5b^5c^5$.

Ответ: $a^5b^5c^5$.

в) В этом выражении множителями являются число 2 и переменная $x$. Возводим каждый из них в восьмую степень:

$(2x)^8 = 2^8 \cdot x^8$.

Вычислим значение $2^8$:

$2^8 = 256$.

Следовательно, итоговый результат: $256x^8$.

Ответ: $256x^8$.

г) Возводим в квадрат (во вторую степень) число 3 и переменную $a$:

$(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$.

Ответ: $9a^2$.

д) Возводим в куб (в третью степень) каждый множитель: $-5$ и $x$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат сохраняет отрицательный знак.

$(-5x)^3 = (-5)^3 \cdot x^3$.

Вычислим $(-5)^3$:

$(-5)^3 = -125$.

Таким образом, получаем: $-125x^3$.

Ответ: $-125x^3$.

е) Возводим в квадрат (во вторую степень) множители $-10$, $a$ и $b$. При возведении отрицательного числа в четную степень (2) результат становится положительным.

$(-10ab)^2 = (-10)^2 \cdot a^2 \cdot b^2$.

Вычислим $(-10)^2$:

$(-10)^2 = 100$.

Следовательно, результат: $100a^2b^2$.

Ответ: $100a^2b^2$.

ж) Возводим в четвертую степень множители $-0,2$, $x$ и $y$. Поскольку степень четная (4), результат возведения отрицательного коэффициента будет положительным.

$(-0,2xy)^4 = (-0,2)^4 \cdot x^4 \cdot y^4$.

Вычислим $(-0,2)^4$:

$(-0,2)^4 = (0,2)^4 = 0,0016$.

Таким образом, получаем: $0,0016x^4y^4$.

Ответ: $0,0016x^4y^4$.

з) Возводим в куб (в третью степень) множители $-0,5$, $b$ и $d$. Поскольку степень нечетная (3), результат возведения отрицательного коэффициента будет отрицательным.

$(-0,5bd)^3 = (-0,5)^3 \cdot b^3 \cdot d^3$.

Вычислим $(-0,5)^3$:

$(-0,5)^3 = -0,125$.

Следовательно, результат: $-0,125b^3d^3$.

Ответ: $-0,125b^3d^3$.

444. Возведите в степень:

а) Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень, используя свойство степеней $(ab)^n = a^n b^n$.

$(mn)^5 = m^5 \cdot n^5 = m^5n^5$.

Ответ: $m^5n^5$.

б) Аналогично предыдущему примеру, применяем правило возведения произведения в степень для трех множителей: $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

$(xyz)^2 = x^2 \cdot y^2 \cdot z^2 = x^2y^2z^2$.

Ответ: $x^2y^2z^2$.

в) Возводим в степень каждый множитель, включая числовой коэффициент. При возведении отрицательного числа в четную степень (4) результат будет положительным.

$(-3y)^4 = (-3)^4 \cdot y^4 = 81 \cdot y^4 = 81y^4$.

Ответ: $81y^4$.

г) Возводим в степень каждый множитель. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат будет отрицательным.

$(-2ax)^3 = (-2)^3 \cdot a^3 \cdot x^3 = -8 \cdot a^3x^3 = -8a^3x^3$.

Ответ: $-8a^3x^3$.

д) Возводим в степень каждый множитель произведения.

$(10xy)^2 = 10^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 100x^2y^2$.

Ответ: $100x^2y^2$.

е) Возводим в степень каждый множитель. Так как степень четная (4), результат возведения отрицательного коэффициента будет положительным.

$(-2abx)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 \cdot b^4 \cdot x^4 = 16a^4b^4x^4$.

Ответ: $16a^4b^4x^4$.

ж) Возводим в степень каждый множитель. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется.

$(-am)^3 = (-1 \cdot a \cdot m)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 \cdot m^3 = -1 \cdot a^3m^3 = -a^3m^3$.

Ответ: $-a^3m^3$.

з) Возводим в степень каждый множитель. Так как степень четная (4), знак минус исчезает.

$(-xn)^4 = (-1 \cdot x \cdot n)^4 = (-1)^4 \cdot x^4 \cdot n^4 = 1 \cdot x^4n^4 = x^4n^4$.

Ответ: $x^4n^4$.

445. Найдите значение выражения:

а) (2 · 10)³; б) (2 · 5)⁴; в)(3 · 100)⁴; г) (5 · 7 · 20)².

а) Чтобы найти значение выражения $(2 \cdot 10)^3$, можно пойти двумя путями.
Способ 1: Сначала выполнить действие в скобках.
$2 \cdot 10 = 20$
Затем возвести результат в степень.
$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$
Способ 2: Использовать свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(2 \cdot 10)^3 = 2^3 \cdot 10^3 = 8 \cdot 1000 = 8000$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 8000.

б) Для вычисления $(2 \cdot 5)^4$ сначала выполним умножение в скобках.
$2 \cdot 5 = 10$
Теперь возведем полученное число 10 в четвертую степень.
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
Таким образом, $(2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.
Ответ: 10000.

в) Найдем значение выражения $(3 \cdot 100)^4$. Здесь удобнее применить свойство возведения произведения в степень.
$(3 \cdot 100)^4 = 3^4 \cdot 100^4$
Вычислим значение каждого множителя по отдельности:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
$100^4 = (10^2)^4 = 10^{2 \cdot 4} = 10^8 = 100\;000\;000$
Теперь перемножим полученные результаты:
$81 \cdot 100\;000\;000 = 8\;100\;000\;000$
Ответ: 8100000000.

г) Чтобы найти значение выражения $(5 \cdot 7 \cdot 20)^2$, сначала вычислим произведение в скобках. Для удобства можно поменять множители местами.
$5 \cdot 7 \cdot 20 = (5 \cdot 20) \cdot 7 = 100 \cdot 7 = 700$
Далее возведем полученное число 700 в квадрат.
$700^2 = 700 \cdot 700 = 490\;000$
Итак, $(5 \cdot 7 \cdot 20)^2 = 700^2 = 490\;000$.
Ответ: 490000.

446. Докажите, что:

а) квадраты противоположных чисел равны;

б) кубы противоположных чисел противоположны.

а) квадраты противоположных чисел равны; Пусть дано произвольное число $a$. Противоположным ему числом будет $-a$. Квадрат числа $a$ равен $a^2$. Квадрат противоположного ему числа $-a$ равен $(-a)^2$. Используя свойства степени, преобразуем второе выражение: $(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$. Так как $a^2$ и $(-a)^2$ равны одному и тому же выражению $a^2$, то они равны между собой: $a^2 = (-a)^2$. Это доказывает, что квадраты противоположных чисел равны.
Ответ: Квадраты противоположных чисел $a$ и $-a$ равны, поскольку $(-a)^2 = a^2$.

б) кубы противоположных чисел противоположны. Пусть дано произвольное число $a$. Противоположным ему числом будет $-a$. Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Нам нужно доказать, что кубы чисел $a$ и $-a$ являются противоположными, то есть их сумма равна нулю. Куб числа $a$ равен $a^3$. Куб противоположного ему числа $-a$ равен $(-a)^3$. Используя свойства степени, преобразуем второе выражение: $(-a)^3 = (-1 \cdot a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 = -1 \cdot a^3 = -a^3$. Теперь найдем сумму кубов этих двух чисел: $a^3 + (-a)^3 = a^3 + (-a^3) = a^3 - a^3 = 0$. Поскольку сумма кубов чисел $a$ и $-a$ равна нулю, они являются противоположными числами.
Ответ: Кубы противоположных чисел $a$ и $-a$ являются противоположными числами, так как их значения, $a^3$ и $-a^3$, являются противоположными числами (их сумма равна 0).

447. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в n раз?

Чтобы определить, как изменится площадь квадрата, необходимо вспомнить формулу для ее вычисления. Площадь квадрата ($S$) равна квадрату его стороны ($a$):

$S = a^2$

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$, а его первоначальная площадь – $S_1 = a^2$. Рассмотрим каждый случай.

в 2 раза

Если сторону квадрата увеличить в 2 раза, то ее новая длина составит $2a$. Подставим новое значение стороны в формулу площади: $S_2 = (2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$. Теперь найдем отношение новой площади к первоначальной, чтобы узнать, во сколько раз она изменилась: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{4a^2}{a^2} = 4$. Следовательно, площадь квадрата увеличится в 4 раза.

Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

в 3 раза

Если сторону квадрата увеличить в 3 раза, то ее новая длина составит $3a$. Новая площадь будет равна: $S_3 = (3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$. Найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_3}{S_1} = \frac{9a^2}{a^2} = 9$. Следовательно, площадь квадрата увеличится в 9 раз.

Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

в 10 раз

Если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то ее новая длина составит $10a$. Новая площадь будет равна: $S_{10} = (10a)^2 = 10^2 \cdot a^2 = 100a^2$. Найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_{10}}{S_1} = \frac{100a^2}{a^2} = 100$. Следовательно, площадь квадрата увеличится в 100 раз.

Ответ: площадь увеличится в 100 раз.

в n раз

Обобщим задачу. Если сторону квадрата увеличить в $n$ раз, то ее новая длина составит $n \cdot a$. Новая площадь будет равна: $S_n = (n \cdot a)^2 = n^2 \cdot a^2$. Найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_n}{S_1} = \frac{n^2 a^2}{a^2} = n^2$. Следовательно, при увеличении стороны квадрата в $n$ раз, его площадь увеличивается в $n^2$ раз.

Ответ: площадь увеличится в $n^2$ раз.

448. Как изменится объём куба, если его ребро увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в n раз?

Для решения задачи определим общую зависимость объёма куба от длины его ребра.
Объём куба ($V$) с ребром $a$ вычисляется по формуле $V = a^3$.
Пусть ребро куба увеличили в $k$ раз. Новая длина ребра станет $a_{нов} = k \cdot a$.
Тогда новый объём $V_{нов}$ составит:
$V_{нов} = (a_{нов})^3 = (k \cdot a)^3 = k^3 \cdot a^3$.
Поскольку первоначальный объём $V = a^3$, то можно записать $V_{нов} = k^3 \cdot V$.
Таким образом, если ребро куба увеличить в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
Теперь применим этот вывод для каждого конкретного случая.

в 2 раза
Если ребро увеличить в 2 раза, то $k=2$. Объём увеличится в $2^3 = 8$ раз.
Ответ: увеличится в 8 раз.

в 3 раза
Если ребро увеличить в 3 раза, то $k=3$. Объём увеличится в $3^3 = 27$ раз.
Ответ: увеличится в 27 раз.

в 10 раз
Если ребро увеличить в 10 раз, то $k=10$. Объём увеличится в $10^3 = 1000$ раз.
Ответ: увеличится в 1000 раз.

в n раз
Если ребро увеличить в $n$ раз, то $k=n$. Объём увеличится в $n^3$ раз.
Ответ: увеличится в $n^3$ раз.