Страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

434. Упростите выражение:

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства степеней.

а)

Чтобы упростить выражение $x^n \cdot x^3$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном случае основание — $x$, а показатели — $n$ и $3$.

$x^n \cdot x^3 = x^{n+3}$

Ответ: $x^{n+3}$.

б)

Для выражения $a^2 \cdot a^m$ применяем то же правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание — $a$, показатели — $2$ и $m$.

$a^2 \cdot a^m = a^{2+m}$

Ответ: $a^{2+m}$.

в)

В выражении $x \cdot x^n$ первый множитель $x$ можно представить как $x^1$. Далее применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x \cdot x^n = x^1 \cdot x^n = x^{1+n}$

Ответ: $x^{1+n}$.

г)

Чтобы упростить выражение $y^n : y^4$, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием, согласно которому из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Основание — $y$, показатели — $n$ и $4$.

$y^n : y^4 = y^{n-4}$

Ответ: $y^{n-4}$.

д)

Для выражения $c^9 : c^m$ применяем то же правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Основание — $c$, показатели — $9$ и $m$.

$c^9 : c^m = c^{9-m}$

Ответ: $c^{9-m}$.

е)

В выражении $k^n : k$ делитель $k$ можно представить как $k^1$. Далее применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$k^n : k = k^n : k^1 = k^{n-1}$

Ответ: $k^{n-1}$.

435. Найдите значение выражения:

а) Чтобы найти значение выражения $3x^0$ при $x=2,6$, воспользуемся свойством степени: любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно 1. Поскольку $x=2,6 \neq 0$, то $x^0 = 1$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$3x^0 = 3 \cdot (2,6)^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы найти значение выражения $-2,5y^0$ при $y=-1\frac{2}{3}$, воспользуемся тем же свойством степени. Поскольку $y=-1\frac{2}{3} \neq 0$, то $y^0 = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$-2,5y^0 = -2,5 \cdot (-1\frac{2}{3})^0 = -2,5 \cdot 1 = -2,5$.
Ответ: -2,5

в) Чтобы найти значение выражения $10a^2b^0$ при $a=-3$ и $b=-8$, сначала упростим его. Так как $b=-8 \neq 0$, то $b^0=1$.
Выражение принимает вид: $10a^2 \cdot 1 = 10a^2$.
Теперь подставим значение $a=-3$ в упрощенное выражение:
$10a^2 = 10 \cdot (-3)^2 = 10 \cdot 9 = 90$.
Ответ: 90

г) Чтобы найти значение выражения $27a^0c^3$ при $a=\frac{2}{3}$ и $c=-\frac{1}{3}$, сначала упростим его. Так как $a=\frac{2}{3} \neq 0$, то $a^0=1$.
Выражение принимает вид: $27 \cdot 1 \cdot c^3 = 27c^3$.
Теперь подставим значение $c=-\frac{1}{3}$ в упрощенное выражение:
$27c^3 = 27 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 27 \cdot (-\frac{1^3}{3^3}) = 27 \cdot (-\frac{1}{27}) = -1$.
Ответ: -1

436. Выполните действия:

а) b⁴b⁰; б) с⁵ : с⁰; в) a⁴a⁰; г) х³ : х⁰.

а) Для упрощения выражения $b^4 b^0$ необходимо использовать свойство степени с нулевым показателем. Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице, то есть $b^0 = 1$ (при $b \neq 0$).
Таким образом, мы умножаем $b^4$ на 1:$b^4 \cdot b^0 = b^4 \cdot 1 = b^4$.
Также можно применить правило умножения степеней с одинаковым основанием: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.$b^4 \cdot b^0 = b^{4+0} = b^4$.
Ответ: $b^4$

б) В данном выражении $c^5 : c^0$ выполняется деление степеней. Снова воспользуемся свойством нулевой степени: $c^0 = 1$ (при $c \neq 0$).
Тогда выражение принимает вид:$c^5 : c^0 = c^5 : 1 = c^5$.
Альтернативное решение — использовать правило деления степеней с одинаковым основанием: $c^m : c^n = c^{m-n}$.$c^5 : c^0 = c^{5-0} = c^5$.
Ответ: $c^5$

в) Выражение $a^4 a^0$ аналогично примеру из пункта а). Применяем правило, что любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).
Выполняем умножение:$a^4 \cdot a^0 = a^4 \cdot 1 = a^4$.
Используя свойство умножения степеней, получаем тот же результат:$a^4 \cdot a^0 = a^{4+0} = a^4$.
Ответ: $a^4$

г) Для решения примера $x^3 : x^0$ используем те же свойства, что и в пункте б). Степень с нулевым показателем равна единице: $x^0 = 1$ (при $x \neq 0$).
Выполняем операцию деления:$x^3 : x^0 = x^3 : 1 = x^3$.
Применяя правило деления степеней с одинаковым основанием, приходим к тому же ответу:$x^3 : x^0 = x^{3-0} = x^3$.
Ответ: $x^3$

437. Представьте в виде квадрата или куба число:

а) 9; б) −27; в) 6,25; г) 0,064; д) −338; е) 549.

а) Число 9 является результатом умножения 3 на 3. Таким образом, 9 можно представить как квадрат числа 3. Проверка: $3 \cdot 3 = 9$.
Ответ: $3^2$.

б) Число -27 является отрицательным, поэтому его нельзя представить в виде квадрата действительного числа. Однако его можно представить в виде куба. Куб числа -3 равен -27. Проверка: $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.
Ответ: $(-3)^3$.

в) Чтобы представить десятичную дробь 6,25 в виде квадрата, нужно найти число, квадрат которого равен 6,25. Это число 2,5. Проверка: $2,5 \cdot 2,5 = 6,25$. Можно также представить в виде дроби: $6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25^2}{10^2} = (\frac{25}{10})^2 = (2,5)^2$.
Ответ: $2,5^2$.

г) Десятичную дробь 0,064 можно представить в виде куба. Для этого представим ее в виде обыкновенной дроби: $0,064 = \frac{64}{1000}$. Числитель $64 = 4^3$, а знаменатель $1000 = 10^3$. Следовательно, $\frac{64}{1000} = \frac{4^3}{10^3} = (\frac{4}{10})^3 = (0,4)^3$.
Ответ: $0,4^3$.

д) Сначала представим смешанное число $-3\frac{3}{8}$ в виде неправильной дроби: $-3\frac{3}{8} = -\frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{27}{8}$. Это отрицательное число, поэтому его можно представить в виде куба. Числитель $27 = 3^3$, а знаменатель $8 = 2^3$. Тогда $-\frac{27}{8} = -(\frac{3}{2})^3 = (-\frac{3}{2})^3$.
Ответ: $(-\frac{3}{2})^3$.

е) Сначала представим смешанное число $5\frac{4}{9}$ в виде неправильной дроби: $5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}$. Эту дробь можно представить в виде квадрата. Числитель $49 = 7^2$, а знаменатель $9 = 3^2$. Следовательно, $\frac{49}{9} = \frac{7^2}{3^2} = (\frac{7}{3})^2$.
Ответ: $(\frac{7}{3})^2$.

438. Постройте график функции, заданной формулой у = х − 3. Найдите по графику значения функции при х = 4 и х = 6.

Постройте график функции, заданной формулой $y = x - 3$

Функция, заданная формулой $y = x - 3$, является линейной. Ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Составим таблицу значений, выбрав два произвольных значения для $x$:

1. Пусть $x = 0$. Подставим это значение в формулу функции:
   $y = 0 - 3 = -3$.
   Таким образом, мы получили точку с координатами $(0, -3)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью $y$.

2. Пусть $x = 3$. Подставим это значение в формулу:
   $y = 3 - 3 = 0$.
   Мы получили вторую точку с координатами $(3, 0)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью $x$.

Теперь начертим систему координат, отметим на ней точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$ и проведем через них прямую. Эта прямая и есть искомый график функции.

Ответ: График функции $y = x - 3$ — это прямая линия, проходящая, например, через точки с координатами $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Найдите по графику значения функции при $x=4$ и $x=6$

Для нахождения значений функции по построенному графику необходимо выполнить следующие действия:

• При $x=4$:
  Находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) значение $x=4$. Из этой точки проводим вертикальную линию до пересечения с графиком функции. Затем из полученной точки на графике проводим горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (вертикальной осью). Точка пересечения на оси ординат и будет искомым значением функции. В данном случае это $y=1$.

• При $x=6$:
  Действуем аналогично. Находим на оси абсцисс значение $x=6$. Проводим вертикальную линию до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси ординат и находим соответствующее значение $y=3$.

Для проверки можно подставить значения $x$ в исходную формулу:
Если $x=4$, то $y = 4 - 3 = 1$.
Если $x=6$, то $y = 6 - 3 = 3$.
Вычисления подтверждают значения, найденные по графику.

Ответ: При $x=4$ значение функции равно $1$; при $x=6$ значение функции равно $3$.

439. Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за t ч прошёл расстояние s км. Задайте формулой зависимость s от t. Пользуясь этой формулой, найдите путь, который автомобиль прошёл за время от 3 ч 30 мин до 5 ч.

Для решения задачи сначала необходимо задать формулой зависимость пройденного расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в часах).
Основная формула, связывающая расстояние, скорость и время, выглядит так: $s = v \cdot t$, где $v$ — скорость.
По условию, скорость автомобиля $v = 70$ км/ч. Подставим это значение в общую формулу:
$s = 70t$

Ответ: $s = 70t$.

Далее, используя эту формулу, найдём путь, который автомобиль прошёл за время от 3 ч 30 мин до 5 ч.
1. Сначала определим продолжительность движения. Для этого необходимо найти разницу между конечным и начальным временем.
Начальное время: $t_1 = 3$ ч $30$ мин.
Конечное время: $t_2 = 5$ ч.
Переведём минуты в часы для удобства вычислений. Так как в 1 часе 60 минут, то 30 минут составляют $\frac{30}{60} = 0.5$ часа.
Следовательно, начальное время $t_1 = 3.5$ ч.
Теперь найдём продолжительность движения $t$:
$t = t_2 - t_1 = 5 \text{ ч} - 3.5 \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$
2. Подставим найденное время движения $t = 1.5$ ч в выведенную ранее формулу $s = 70t$, чтобы рассчитать пройденный путь:
$s = 70 \cdot 1.5 = 105$ км.

Ответ: 105 км.

440. Пусть а − произвольное число. Сравните с нулём значение выражения:

а) 6а²; б) −а²; в) а² + 4; г) (а + 4)²; д) −а² − 5.

а) По определению, квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным числом, то есть $a^2 \geq 0$. Выражение $6a^2$ представляет собой произведение положительного числа 6 и неотрицательного числа $a^2$. Если $a=0$, то $a^2=0$, и значение выражения равно $6 \cdot 0 = 0$. Если $a \neq 0$, то $a^2 > 0$, и значение выражения $6a^2$ будет положительным. Следовательно, для любого произвольного числа $a$, значение выражения $6a^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $6a^2 \geq 0$.

б) Мы знаем, что для любого числа $a$ выполняется неравенство $a^2 \geq 0$. Выражение $-a^2$ можно представить как $-1 \cdot a^2$. Это произведение отрицательного числа (-1) и неотрицательного числа ($a^2$). Если $a=0$, то $a^2=0$, и значение выражения равно $-0 = 0$. Если $a \neq 0$, то $a^2 > 0$, и произведение $-1 \cdot a^2$ будет отрицательным. Таким образом, для любого произвольного числа $a$, значение выражения $-a^2$ всегда меньше или равно нулю.
Ответ: $-a^2 \leq 0$.

в) Значение $a^2$ всегда неотрицательно, то есть $a^2 \geq 0$. В выражении $a^2+4$ к неотрицательному числу $a^2$ прибавляется положительное число 4. Наименьшее возможное значение $a^2$ равно 0 (при $a=0$). В этом случае выражение принимает значение $0+4=4$. Если $a \neq 0$, то $a^2>0$, и значение выражения $a^2+4$ будет больше 4. Следовательно, для любого $a$ значение выражения $a^2+4$ всегда строго больше нуля.
Ответ: $a^2+4 > 0$.

г) Выражение $(a+4)^2$ является квадратом числа $(a+4)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Значение выражения равно нулю тогда и только тогда, когда основание степени равно нулю: $a+4=0$, то есть при $a=-4$. Во всех остальных случаях, когда $a \neq -4$, основание $a+4$ не равно нулю, и его квадрат $(a+4)^2$ будет строго положительным. Таким образом, для любого произвольного числа $a$, значение выражения $(a+4)^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $(a+4)^2 \geq 0$.

д) Как мы установили в пункте б), выражение $-a^2$ является неположительным, то есть $-a^2 \leq 0$. В выражении $-a^2 - 5$ из неположительного числа вычитается положительное число 5. Наибольшее возможное значение $-a^2$ равно 0 (при $a=0$). В этом случае выражение равно $0 - 5 = -5$. Если $a \neq 0$, то $-a^2 < 0$, и значение выражения $-a^2-5$ будет еще меньше, то есть меньше -5. Следовательно, для любого $a$ значение выражения $-a^2 - 5$ всегда будет строго меньше нуля.
Ответ: $-a^2 - 5 < 0$.

441. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой y = x³ − 3x², точка А(7; 196); точка В(−5; −200)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в формулу функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Функция задана формулой: $y = x^3 - 3x^2$.

точка А(7; 196)

Подставим координаты точки А, где $x = 7$ и $y = 196$, в уравнение функции:

$196 = 7^3 - 3 \cdot 7^2$

Вычислим значение правой части выражения:

$7^3 = 343$

$3 \cdot 7^2 = 3 \cdot 49 = 147$

$343 - 147 = 196$

В результате мы получили верное равенство: $196 = 196$.

Следовательно, точка А(7; 196) принадлежит графику данной функции.

Ответ: да, принадлежит.

точка B(–5; –200)

Подставим координаты точки B, где $x = -5$ и $y = -200$, в уравнение функции:

$-200 = (-5)^3 - 3 \cdot (-5)^2$

Вычислим значение правой части выражения:

$(-5)^3 = -125$

$3 \cdot (-5)^2 = 3 \cdot 25 = 75$

$-125 - 75 = -200$

В результате мы получили верное равенство: $-200 = -200$.

Следовательно, точка B(–5; –200) принадлежит графику данной функции.

Ответ: да, принадлежит.

442. Кусок гранита объёмом 40 см³ имеет массу 108 г. Какова масса куска гранита, объём которого на 35 см³ больше?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала мы найдем объём второго куска гранита, а затем, используя метод пропорции или рассчитав плотность, определим его массу.

1. Найдём объём второго куска гранита. В условии сказано, что его объём на 35 см? больше, чем у первого куска, объём которого составляет 40 см?.

Объём второго куска ($V_2$) = Объём первого куска ($V_1$) + 35 см?

$V_2 = 40 \text{ см}^3 + 35 \text{ см}^3 = 75 \text{ см}^3$.

2. Теперь, зная объёмы и массу одного из кусков, мы можем найти массу второго куска. Так как оба куска сделаны из гранита, их плотность одинакова. Масса тела прямо пропорциональна его объёму при постоянной плотности. Составим пропорцию, где $x$ — искомая масса второго куска:

$\frac{\text{Масса первого куска}}{\text{Объём первого куска}} = \frac{\text{Масса второго куска}}{\text{Объём второго куска}}$

Подставим известные значения:

$\frac{108 \text{ г}}{40 \text{ см}^3} = \frac{x}{75 \text{ см}^3}$

3. Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$x = \frac{108 \text{ г} \cdot 75 \text{ см}^3}{40 \text{ см}^3}$

$x = \frac{8100}{40}$ г

$x = 202,5$ г.

Альтернативно, можно было сначала найти плотность гранита: $\rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{108}{40} = 2,7$ г/см?. А затем найти массу второго куска: $m_2 = \rho \cdot V_2 = 2,7 \cdot 75 = 202,5$ г.

Ответ: масса куска гранита, объём которого на 35 см? больше, составляет 202,5 г.