Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Выполните возведение в степень:

а) Возведение в степень означает умножение числа на само себя указанное количество раз. В данном случае нужно умножить 2 на себя 4 раза: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Ответ: 16.

б) Возводим число 4 во вторую степень (в квадрат): $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.
Ответ: 16.

в) Возводим число 5 в третью степень (в куб): $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125.

г) Возводим число 3 в пятую степень: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Ответ: 243.

д) Возводим десятичную дробь 7,8 в квадрат: $(7,8)^2 = 7,8 \cdot 7,8 = 60,84$.
Ответ: 60,84.

е) Возводим отрицательное число -1,5 в третью степень. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным: $(-1,5)^3 = (-1,5) \cdot (-1,5) \cdot (-1,5) = -(1,5^3) = -3,375$.
Ответ: -3,375.

ж) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{3}{4})^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}$.
Ответ: $\frac{81}{256}$.

з) Возводим отрицательную дробь в нечетную (пятую) степень. Результат будет отрицательным. Возводим в степень числитель и знаменатель: $(-\frac{2}{3})^5 = -\frac{2^5}{3^5} = -\frac{32}{243}$.
Ответ: $-\frac{32}{243}$.

и) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Затем возводим полученную дробь в четвертую степень: $(\frac{4}{3})^4 = \frac{4^4}{3^4} = \frac{256}{81}$. Можно преобразовать обратно в смешанное число: $\frac{256}{81} = 3\frac{13}{81}$.
Ответ: $3\frac{13}{81}$.

к) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$. Возводим в третью (нечетную) степень, поэтому результат будет отрицательным: $(-\frac{5}{2})^3 = -\frac{5^3}{2^3} = -\frac{125}{8}$. Преобразуем в смешанное число: $-\frac{125}{8} = -15\frac{5}{8}$.
Ответ: $-15\frac{5}{8}$.

389. Найдите значение степени:

а) Чтобы найти значение степени $25^2$, нужно умножить число 25 само на себя:
$25^2 = 25 \times 25 = 625$.
Ответ: 625.

б) Чтобы найти значение степени $8^4$, нужно умножить число 8 само на себя 4 раза:
$8^4 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 64 \times 64 = 4096$.
Ответ: 4096.

в) Чтобы найти значение степени $7^3$, нужно умножить число 7 само на себя 3 раза:
$7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$.
Ответ: 343.

г) Чтобы найти значение степени $7^5$, нужно умножить число 7 само на себя 5 раз. Можно использовать результат из предыдущего пункта: $7^3 = 343$.
$7^5 = 7^3 \times 7^2 = 343 \times (7 \times 7) = 343 \times 49 = 16807$.
Ответ: 16807.

д) Возведение отрицательного числа в нечетную степень (3) дает отрицательный результат. Основание степени — $(-0,9)$.
$(-0,9)^3 = (-0,9) \times (-0,9) \times (-0,9) = 0,81 \times (-0,9) = -0,729$.
Ответ: -0,729.

е) Возведение отрицательного числа в четную степень (2) дает положительный результат. Основание степени — $(-2,4)$.
$(-2,4)^2 = (-2,4) \times (-2,4) = 5,76$.
Ответ: 5,76.

ж) Возведение отрицательной дроби в нечетную степень (5) дает отрицательный результат.
$(-\frac{1}{2})^5 = \frac{(-1)^5}{2^5} = \frac{-1}{32} = -\frac{1}{32}$.
Ответ: $-\frac{1}{32}$.

з) Возведение отрицательной дроби в четную степень (6) дает положительный результат.
$(-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$.
Ответ: $\frac{1}{64}$.

и) В выражении $-0,9^3$ отсутствуют скобки, поэтому степень относится только к числу 0,9, а не к знаку минус. Сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак.
$-0,9^3 = -(0,9^3) = -(0,9 \times 0,9 \times 0,9) = -(0,81 \times 0,9) = -0,729$.
Ответ: -0,729.

к) Аналогично предыдущему пункту, в выражении $-2,4^2$ степень относится только к числу 2,4. Результат будет отрицательным.
$-2,4^2 = -(2,4^2) = -(2,4 \times 2,4) = -5,76$.
Ответ: -5,76.

390. Вычислите с помощью калькулятора:

а) 4,15³;б) (−0,98)⁵;в) 1,42⁶;г) 2,08³ : 1,56;д) 1,67⁴ · 8,3.

а)

Чтобы вычислить $4,15^3$, необходимо возвести число 4,15 в третью степень. Это означает, что нужно умножить число 4,15 само на себя три раза.

$4,15^3 = 4,15 \cdot 4,15 \cdot 4,15$

Сначала выполним первое умножение:

$4,15 \cdot 4,15 = 17,2225$

Затем умножим результат на 4,15 еще раз:

$17,2225 \cdot 4,15 = 71,463375$

Ответ: $71,463375$

б)

Чтобы вычислить $(-0,98)^5$, необходимо возвести отрицательное число -0,98 в пятую степень. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-0,98)^5 = - (0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98)$

Вычислим значение $0,98^5$ с помощью калькулятора:

$0,98^5 = 0,9039207968$

Так как основание степени отрицательное, то итоговый результат будет со знаком минус.

$(-0,98)^5 = -0,9039207968$

Ответ: $-0,9039207968$

в)

Чтобы вычислить $1,42^6$, необходимо возвести число 1,42 в шестую степень.

$1,42^6 = 1,42 \cdot 1,42 \cdot 1,42 \cdot 1,42 \cdot 1,42 \cdot 1,42$

Для удобства вычислений можно сначала возвести 1,42 в квадрат, а затем полученный результат возвести в куб, или использовать калькулятор для прямого вычисления:

$1,42^2 = 2,0164$

$1,42^6 = (1,42^2)^3 = 2,0164^3 = 8,197438334944$

Либо, используя функцию возведения в степень на калькуляторе:

$1,42^6 = 8,197438334944$

Ответ: $8,197438334944$

г)

Для вычисления значения выражения $2,08^3 : 1,56$ нужно выполнить действия в правильном порядке: сначала возведение в степень, затем деление.

1. Возведем 2,08 в третью степень:

$2,08^3 = 2,08 \cdot 2,08 \cdot 2,08 = 8,998912$

2. Разделим полученный результат на 1,56:

$8,998912 : 1,56 = 5,7685333...$

Получилась бесконечная периодическая десятичная дробь. Её можно записать с периодом в скобках.

$5,7685\overline{3}$

Ответ: $5,7685\overline{3}$

д)

Для вычисления значения выражения $1,67^4 \cdot 8,3$ необходимо сначала возвести число 1,67 в четвертую степень, а затем умножить результат на 8,3.

1. Возведем 1,67 в четвертую степень:

$1,67^4 = 1,67 \cdot 1,67 \cdot 1,67 \cdot 1,67 = 7,77806321$

2. Умножим полученный результат на 8,3:

$7,77806321 \cdot 8,3 = 64,557924643$

Ответ: $64,557924643$

391. Найдите с помощью калькулятора значение выражения:

а) 8,49⁴; б) (−1,062)³; в) 2,73⁵ · 27,4; г) (1,39 + 7,083)³.

а) Для вычисления значения выражения $8,49^4$ необходимо число 8,49 возвести в четвертую степень. Это означает, что число нужно умножить само на себя четыре раза. С помощью калькулятора получаем:

$8,49^4 = 8,49 \cdot 8,49 \cdot 8,49 \cdot 8,49 = 5195,54089601$

Ответ: $5195,54089601$

б) Для вычисления значения выражения $(-1,062)^3$ необходимо число -1,062 возвести в третью степень. Так как показатель степени (3) — нечетное число, результат будет отрицательным. С помощью калькулятора получаем:

$(-1,062)^3 = (-1,062) \cdot (-1,062) \cdot (-1,062) = -1,197770328$

Ответ: $-1,197770328$

в) В выражении $2,73^5 \cdot 27,4$ сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение. Выполним вычисления по порядку с помощью калькулятора:

1. Возводим 2,73 в пятую степень:
$2,73^5 = 151,6393254153$

2. Умножаем полученный результат на 27,4:
$151,6393254153 \cdot 27,4 = 4154,91945638122$

Ответ: $4154,91945638122$

г) В выражении $(1,39 + 7,083)^3$ сначала выполняется действие в скобках, а затем возведение в степень. Выполним вычисления по порядку с помощью калькулятора:

1. Находим сумму чисел в скобках:
$1,39 + 7,083 = 8,473$

2. Возводим полученную сумму в третью степень:
$8,473^3 = 8,473 \cdot 8,473 \cdot 8,473 = 608,318214317$

Ответ: $608,318214317$

392. Перечертите в тетрадь таблицу и заполните её.

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения выражений $2^n$ и $3^n$ для каждого натурального числа $n$ от 1 до 10.

Вычисление значений для строки $2^n$

Возводим число 2 в степень $n$, где $n$ принимает значения от 1 до 10. Каждое следующее значение можно получить, умножив предыдущее на 2.

• При $n=1$: $2^1 = 2$
• При $n=2$: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$
• При $n=3$: $2^3 = 4 \cdot 2 = 8$
• При $n=4$: $2^4 = 8 \cdot 2 = 16$
• При $n=5$: $2^5 = 16 \cdot 2 = 32$
• При $n=6$: $2^6 = 32 \cdot 2 = 64$
• При $n=7$: $2^7 = 64 \cdot 2 = 128$
• При $n=8$: $2^8 = 128 \cdot 2 = 256$
• При $n=9$: $2^9 = 256 \cdot 2 = 512$
• При $n=10$: $2^{10} = 512 \cdot 2 = 1024$

Вычисление значений для строки $3^n$

Возводим число 3 в степень $n$, где $n$ принимает значения от 1 до 10. Каждое следующее значение можно получить, умножив предыдущее на 3.

• При $n=1$: $3^1 = 3$
• При $n=2$: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
• При $n=3$: $3^3 = 9 \cdot 3 = 27$
• При $n=4$: $3^4 = 27 \cdot 3 = 81$
• При $n=5$: $3^5 = 81 \cdot 3 = 243$
• При $n=6$: $3^6 = 243 \cdot 3 = 729$
• При $n=7$: $3^7 = 729 \cdot 3 = 2187$
• При $n=8$: $3^8 = 2187 \cdot 3 = 6561$
• При $n=9$: $3^9 = 6561 \cdot 3 = 19683$
• При $n=10$: $3^{10} = 19683 \cdot 3 = 59049$

Заполненная таблица с полученными результатами представлена ниже.

Ответ:

393. Представьте:

а) в виде квадрата число: 0,81; 0,16; 144; 25169; 12425; 0,0004;

б) в виде куба число: 64; −216; 0,008; −164; 41727;

в) в виде степени десяти число: 10; 100; 1000; 1 000 000;

г) в виде степени пяти число: 125; 625; 15 625.

а) Чтобы представить число в виде квадрата, нужно найти такое число, которое при возведении во вторую степень (т.е. умножении само на себя) даст исходное число.
Для числа $0,81$: $0,9 \cdot 0,9 = 0,81$, следовательно, $0,81 = 0,9^2$.
Для числа $0,16$: $0,4 \cdot 0,4 = 0,16$, следовательно, $0,16 = 0,4^2$.
Для числа $144$: $12 \cdot 12 = 144$, следовательно, $144 = 12^2$.
Для дроби $\frac{25}{169}$: $\sqrt{25}=5$ и $\sqrt{169}=13$, следовательно, $\frac{25}{169} = (\frac{5}{13})^2$.
Для смешанной дроби $1\frac{24}{25}$: сначала представим ее в виде неправильной дроби $1\frac{24}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 24}{25} = \frac{49}{25}$. Так как $\sqrt{49}=7$ и $\sqrt{25}=5$, то $\frac{49}{25} = (\frac{7}{5})^2$.
Для числа $0,0004$: представим его в виде дроби $\frac{4}{10000}$. Так как $\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{10000}=100$, то $\frac{4}{10000} = (\frac{2}{100})^2 = 0,02^2$.
Ответ: $0,81 = 0,9^2$; $0,16 = 0,4^2$; $144 = 12^2$; $\frac{25}{169} = (\frac{5}{13})^2$; $1\frac{24}{25} = (\frac{7}{5})^2$; $0,0004 = 0,02^2$.

б) Чтобы представить число в виде куба, нужно найти такое число, которое при возведении в третью степень даст исходное число.
Для числа $64$: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, следовательно, $64 = 4^3$.
Для числа $-216$: $(-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = -216$, следовательно, $-216 = (-6)^3$.
Для числа $0,008$: $0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$, следовательно, $0,008 = 0,2^3$.
Для дроби $-\frac{1}{64}$: кубический корень из $1$ равен $1$, а из $64$ равен $4$. Так как число отрицательное, то $-\frac{1}{64} = (-\frac{1}{4})^3$.
Для смешанной дроби $4\frac{17}{27}$: представим ее в виде неправильной дроби $4\frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108+17}{27} = \frac{125}{27}$. Так как $\sqrt[3]{125}=5$ и $\sqrt[3]{27}=3$, то $\frac{125}{27} = (\frac{5}{3})^3$.
Ответ: $64 = 4^3$; $-216 = (-6)^3$; $0,008 = 0,2^3$; $-\frac{1}{64} = (-\frac{1}{4})^3$; $4\frac{17}{27} = (\frac{5}{3})^3$.

в) Представить число в виде степени десяти означает записать его в виде $10^n$, где $n$ — показатель степени, который для данных чисел равен количеству нулей.
$10$ имеет один нуль, значит $10 = 10^1$.
$100$ имеет два нуля, значит $100 = 10^2$.
$1000$ имеет три нуля, значит $1000 = 10^3$.
$1\;000\;000$ имеет шесть нулей, значит $1\;000\;000 = 10^6$.
Ответ: $10 = 10^1$; $100 = 10^2$; $1000 = 10^3$; $1\;000\;000 = 10^6$.

г) Представить число в виде степени пяти означает записать его в виде $5^n$, где $n$ — показатель степени.
Для числа $125$: $5 \cdot 5 = 25$, $25 \cdot 5 = 125$. Таким образом, $125 = 5^3$.
Для числа $625$: $125 \cdot 5 = 625$. Таким образом, $625 = 5^4$.
Для числа $15625$: $625 \cdot 5 = 3125$, $3125 \cdot 5 = 15625$. Таким образом, $15625 = 5^6$.
Ответ: $125 = 5^3$; $625 = 5^4$; $15625 = 5^6$.

394. Представьте в виде квадрата или куба число:

а) 8;б) 81;в) 125;г) 64;д) 0,001;е) 338;ж) 11125.

а) Чтобы представить число 8 в виде квадрата или куба, необходимо найти число, которое при возведении во вторую или третью степень даст 8. Число 8 не является квадратом целого числа. Проверим, является ли оно кубом: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Таким образом, число 8 является кубом числа 2.
Ответ: $8 = 2^3$.

б) Чтобы представить число 81 в виде квадрата или куба, ищем соответствующее основание степени. Число 81 является квадратом числа 9, так как $9^2 = 9 \cdot 9 = 81$. Число 81 не является кубом целого числа, так как $4^3 = 64$, а $5^3 = 125$.
Ответ: $81 = 9^2$.

в) Чтобы представить число 125 в виде квадрата или куба, ищем основание степени. Число 125 не является квадратом целого числа. Проверим, является ли оно кубом: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Таким образом, 125 — это куб числа 5.
Ответ: $125 = 5^3$.

г) Число 64 можно представить как в виде квадрата, так и в виде куба.
В виде квадрата: $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$.
В виде куба: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Оба варианта верны.
Ответ: $64 = 8^2$ или $64 = 4^3$.

д) Представим десятичную дробь 0,001 в виде обыкновенной дроби: $0,001 = \frac{1}{1000}$. Чтобы представить дробь в виде степени, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Проверим куб: $\sqrt[3]{1}=1$ и $\sqrt[3]{1000}=10$. Следовательно, $\frac{1}{1000} = \left(\frac{1}{10}\right)^3$. В десятичном виде это $0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.
Ответ: $0,001 = 0,1^3$.

е) Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$. Теперь представим числитель и знаменатель в виде степени. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $8 = 2^3$. Таким образом, $\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$.
Ответ: $3\frac{3}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$.

ж) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{11}{25}$ в неправильную дробь: $1\frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$. Теперь представим числитель и знаменатель в виде степени. Мы знаем, что $36 = 6^2$ и $25 = 5^2$. Таким образом, $\frac{36}{25} = \frac{6^2}{5^2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2$.
Ответ: $1\frac{11}{25} = \left(\frac{6}{5}\right)^2$.

395. Сравните;

а) Сравним $71^2$ и $0$.
Основание степени, число $71$, является положительным. При возведении положительного числа в любую степень результат также будет положительным. Любое положительное число всегда больше нуля. Следовательно, $71^2 > 0$.
Ответ: $71^2 > 0$.

б) Сравним $(-25)^3$ и $0$.
Основание степени, число $-25$, является отрицательным. Показатель степени, $3$, является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. Любое отрицательное число всегда меньше нуля. Следовательно, $(-25)^3 < 0$.
Ответ: $(-25)^3 < 0$.

в) Сравним $(-5,9)^3$ и $(-5,9)^2$.
Для сравнения этих двух выражений определим их знаки. Выражение $(-5,9)^3$ является отрицательным числом, так как отрицательное основание $-5,9$ возводится в нечетную степень ($3$). Выражение $(-5,9)^2$ является положительным числом, так как отрицательное основание $-5,9$ возводится в четную степень ($2$). Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $(-5,9)^2 > (-5,9)^3$.
Ответ: $(-5,9)^3 < (-5,9)^2$.

г) Сравним $(-2,3)^{12}$ и $(-8,6)^{19}$.
Определим знаки каждого из выражений, не вычисляя их точные значения. Число $(-2,3)^{12}$ является положительным, так как отрицательное основание $-2,3$ возводится в четную степень $12$. Число $(-8,6)^{19}$ является отрицательным, так как отрицательное основание $-8,6$ возводится в нечетную степень $19$. Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, то $(-2,3)^{12} > (-8,6)^{19}$.
Ответ: $(-2,3)^{12} > (-8,6)^{19}$.

396. Выполните действие:

а) $7 \cdot 5^2$

Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возводим 5 в квадрат: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

2. Затем умножаем 7 на полученный результат: $7 \cdot 25 = 175$.

Таким образом, $7 \cdot 5^2 = 7 \cdot 25 = 175$.

Ответ: 175

б) $(7 \cdot 5)^2$

В этом случае сначала выполняется действие в скобках, а затем результат возводится в степень.

1. Вычисляем произведение в скобках: $7 \cdot 5 = 35$.

2. Возводим результат в квадрат: $35^2 = 35 \cdot 35 = 1225$.

Таким образом, $(7 \cdot 5)^2 = 35^2 = 1225$.

Ответ: 1225

в) $(-0,4)^3$

Здесь в третью степень возводится отрицательное число $-0,4$. Поскольку показатель степени (3) — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-0,4)^3 = (-0,4) \cdot (-0,4) \cdot (-0,4) = 0,16 \cdot (-0,4) = -0,064$.

Ответ: -0,064

г) $-0,4^3$

В данном выражении в степень возводится только число 0,4, а знак "минус" к нему не относится. Это эквивалентно записи $-(0,4^3)$.

1. Возводим 0,4 в куб: $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.

2. Добавляем знак "минус": $-0,064$.

Таким образом, $-0,4^3 = -0,064$.

Ответ: -0,064

д) $-3 \cdot 2^5$

Сначала выполняем возведение в степень, затем умножение.

1. Возводим 2 в пятую степень: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

2. Умножаем -3 на результат: $-3 \cdot 32 = -96$.

Таким образом, $-3 \cdot 2^5 = -3 \cdot 32 = -96$.

Ответ: -96

е) $-6^2 \cdot (-12)$

Сначала выполняется возведение в степень, затем умножение. В выражении $-6^2$ в степень возводится только число 6.

1. Возводим 6 в квадрат: $6^2 = 36$.

2. Выражение принимает вид: $-36 \cdot (-12)$.

3. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $36 \cdot 12 = 432$.

Таким образом, $-6^2 \cdot (-12) = -36 \cdot (-12) = 432$.

Ответ: 432

397. Найдите значение выражения, используя таблицу квадратов:

а) $34^2 - 175$.
Для решения этого примера сначала найдем значение $34^2$, используя таблицу квадратов.$34^2 = 1156$.
Теперь выполним вычитание:$1156 - 175 = 981$.
Ответ: 981.

б) $605 + 78^2$.
Сначала найдем значение $78^2$ по таблице квадратов.$78^2 = 6084$.
Теперь выполним сложение:$605 + 6084 = 6689$.
Ответ: 6689.

в) $42^2 : 9$.
Найдем значение $42^2$ по таблице квадратов.$42^2 = 1764$.
Теперь выполним деление:$1764 : 9 = 196$.
Ответ: 196.

г) $18^2 : 27$.
Найдем значение $18^2$ по таблице квадратов.$18^2 = 324$.
Теперь выполним деление:$324 : 27 = 12$.
Ответ: 12.

д) $75^2 + 25^2$.
Найдем значения квадратов для каждого числа по таблице.$75^2 = 5625$.
$25^2 = 625$.
Теперь сложим полученные значения:$5625 + 625 = 6250$.
Ответ: 6250.

е) $59^2 - 36^2$.
Найдем значения квадратов для каждого числа по таблице.$59^2 = 3481$.
$36^2 = 1296$.
Теперь найдем их разность:$3481 - 1296 = 2185$.
Этот пример также можно решить, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$(59 - 36)(59 + 36) = 23 \times 95 = 2185$.
Ответ: 2185.