Страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

418. Представьте произведение в виде степени:

Для решения данной задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. Формула выглядит следующим образом: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

а) В выражении $x^5 x^8$ основание степени равно $x$, а показатели — 5 и 8. Чтобы представить произведение в виде степени, сложим показатели:

$x^5 x^8 = x^{5+8} = x^{13}$

Ответ: $x^{13}$.

б) В выражении $a^6 a^3$ основание равно $a$, а показатели — 6 и 3. Применяем то же свойство:

$a^6 a^3 = a^{6+3} = a^9$

Ответ: $a^9$.

в) В произведении $y^4 y^9$ основание — $y$, показатели — 4 и 9. Складываем показатели:

$y^4 y^9 = y^{4+9} = y^{13}$

Ответ: $y^{13}$.

г) В выражении $b^8 b^{15}$ основание равно $b$, показатели — 8 и 15. Сумма показателей равна $8 + 15 = 23$.

$b^8 b^{15} = b^{8+15} = b^{23}$

Ответ: $b^{23}$.

д) В выражении $x^9 x$ второй множитель $x$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $x = x^1$. Основание одинаковое и равно $x$.

$x^9 x = x^9 \cdot x^1 = x^{9+1} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$.

е) В выражении $y y^{12}$ первый множитель $y$ также имеет показатель 1 ($y = y^1$). Основание одинаковое и равно $y$.

$y y^{12} = y^1 \cdot y^{12} = y^{1+12} = y^{13}$

Ответ: $y^{13}$.

ж) В произведении $2^6 \cdot 2^4$ основание равно 2, а показатели — 6 и 4. Складываем показатели:

$2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}$

Ответ: $2^{10}$.

з) В выражении $7^5 \cdot 7$ второй множитель 7 можно представить как $7^1$. Основание равно 7.

$7^5 \cdot 7 = 7^5 \cdot 7^1 = 7^{5+1} = 7^6$

Ответ: $7^6$.

419. Запишите в виде степени произведение:

Для того чтобы записать произведение в виде степени, используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а их показатели складываются. Это правило можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Важно помнить, что если у числа или переменной показатель степени не написан, то он равен 1, например, $a = a^1$.

а) В выражении $m^3 m^8$ основание одинаковое ($m$). Чтобы найти итоговую степень, сложим показатели: $3+8=11$.
$m^3 m^8 = m^{3+8} = m^{11}$.
Ответ: $m^{11}$.

б) В выражении $x^4 x^4$ основание одинаковое ($x$). Складываем показатели: $4+4=8$.
$x^4 x^4 = x^{4+4} = x^8$.
Ответ: $x^8$.

в) В выражении $c^7 c^{12}$ основание одинаковое ($c$). Складываем показатели: $7+12=19$.
$c^7 c^{12} = c^{7+12} = c^{19}$.
Ответ: $c^{19}$.

г) В выражении $p^8 p^{11}$ основание одинаковое ($p$). Складываем показатели: $8+11=19$.
$p^8 p^{11} = p^{8+11} = p^{19}$.
Ответ: $p^{19}$.

д) В выражении $aa^3$ первый множитель $a$ имеет показатель степени 1. Таким образом, выражение можно записать как $a^1 a^3$. Основание одинаковое ($a$), складываем показатели: $1+3=4$.
$aa^3 = a^1 a^3 = a^{1+3} = a^4$.
Ответ: $a^4$.

е) В выражении $b^2 b$ второй множитель $b$ имеет показатель степени 1. Выражение можно записать как $b^2 b^1$. Основание одинаковое ($b$), складываем показатели: $2+1=3$.
$b^2 b = b^2 b^1 = b^{2+1} = b^3$.
Ответ: $b^3$.

ж) В выражении $5^9 \cdot 5^8$ основание одинаковое (5). Складываем показатели: $9+8=17$.
$5^9 \cdot 5^8 = 5^{9+8} = 5^{17}$.
Ответ: $5^{17}$.

з) В выражении $3^8 \cdot 3^3$ основание одинаковое (3). Складываем показатели: $8+3=11$.
$3^8 \cdot 3^3 = 3^{8+3} = 3^{11}$.
Ответ: $3^{11}$.

420. Представьте выражение а¹⁵ в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, одна из которых равна:

а) а⁶; б) а⁹; в) а²; г) а¹⁴.

Для того чтобы представить выражение $a^{15}$ в виде произведения двух степеней с одинаковым основанием $a$, мы используем свойство умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Задача сводится к нахождению такого показателя степени $x$, чтобы при умножении на заданную степень $a^k$ получилось $a^{15}$. То есть, мы ищем $a^x$ такое, что $a^k \cdot a^x = a^{15}$, что равносильно уравнению $k+x = 15$.

а)

Задан один из множителей: $a^6$. Найдем второй множитель $a^x$, такой, что их произведение равно $a^{15}$.

$a^6 \cdot a^x = a^{15}$

Согласно свойству умножения степеней, сумма их показателей должна быть равна 15:

$6 + x = 15$

Отсюда находим $x$:

$x = 15 - 6 = 9$

Значит, второй множитель равен $a^9$. Таким образом, искомое произведение: $a^6 \cdot a^9$.
Ответ: $a^{15} = a^6 \cdot a^9$.

б)

Задан один из множителей: $a^9$. Найдем второй множитель $a^x$.

$a^9 \cdot a^x = a^{15}$

Составим уравнение для показателей степеней:

$9 + x = 15$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = 15 - 9 = 6$

Второй множитель равен $a^6$. Искомое произведение: $a^9 \cdot a^6$.
Ответ: $a^{15} = a^9 \cdot a^6$.

в)

Задан один из множителей: $a^2$. Найдем второй множитель $a^x$.

$a^2 \cdot a^x = a^{15}$

Составим уравнение для показателей степеней:

$2 + x = 15$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = 15 - 2 = 13$

Второй множитель равен $a^{13}$. Искомое произведение: $a^2 \cdot a^{13}$.
Ответ: $a^{15} = a^2 \cdot a^{13}$.

г)

Задан один из множителей: $a^{14}$. Найдем второй множитель $a^x$.

$a^{14} \cdot a^x = a^{15}$

Составим уравнение для показателей степеней:

$14 + x = 15$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = 15 - 14 = 1$

Второй множитель равен $a^1$ или просто $a$. Искомое произведение: $a^{14} \cdot a$.
Ответ: $a^{15} = a^{14} \cdot a$.

421. Представьте степень в виде произведения двух степеней с тем же основанием каким−нибудь способом:

а) х¹⁰; б) у¹⁵; в) 2¹²; г) 5¹⁷.

Для решения этой задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Чтобы представить заданную степень $a^k$ в виде произведения двух степеней, необходимо показатель степени $k$ представить в виде суммы двух слагаемых $m$ и $n$. Так как в задании указано, что это можно сделать "каким-нибудь способом", существует множество верных решений. Мы приведем по одному из возможных вариантов для каждого пункта.

а) Представим степень $x^{10}$. Показатель степени равен 10. Мы можем представить 10 как сумму двух чисел, например, $10 = 3 + 7$.
Тогда, согласно свойству степеней, получаем:
$x^{10} = x^{3+7} = x^3 \cdot x^7$.
Ответ: $x^{10} = x^3 \cdot x^7$

б) Представим степень $y^{15}$. Показатель степени равен 15. Представим 15 в виде суммы, например, $15 = 5 + 10$.
Тогда, получаем:
$y^{15} = y^{5+10} = y^5 \cdot y^{10}$.
Ответ: $y^{15} = y^5 \cdot y^{10}$

в) Представим степень $2^{12}$. Показатель степени равен 12. Представим 12 как сумму, например, $12 = 6 + 6$.
Тогда, получаем:
$2^{12} = 2^{6+6} = 2^6 \cdot 2^6$.
Ответ: $2^{12} = 2^6 \cdot 2^6$

г) Представим степень $5^{17}$. Показатель степени равен 17. Представим 17 в виде суммы, например, $17 = 8 + 9$.
Тогда, получаем:
$5^{17} = 5^{8+9} = 5^8 \cdot 5^9$.
Ответ: $5^{17} = 5^8 \cdot 5^9$