Страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

413. Запишите в виде выражения:

а) квадрат суммы чисел х и 1;

б) сумму квадратов чисел а и b;

в) разность квадратов чисел m и n;

г) квадрат разности чисел m и n;

д) удвоенное произведение квадратов чисел х и у;

е) удвоенное произведение куба а и квадрата b.

а) Квадрат суммы чисел $x$ и $1$. Сначала находим сумму чисел, что дает нам $x + 1$. Затем возводим полученную сумму в квадрат. Важно использовать скобки, чтобы показать, что в квадрат возводится вся сумма, а не только одно из слагаемых. Таким образом, выражение имеет вид $(x + 1)^2$.

Ответ: $(x + 1)^2$

б) Сумма квадратов чисел $a$ и $b$. Сначала находим квадрат каждого числа по отдельности: квадрат числа $a$ — это $a^2$, квадрат числа $b$ — это $b^2$. Затем складываем полученные результаты. Выражение будет $a^2 + b^2$.

Ответ: $a^2 + b^2$

в) Разность квадратов чисел $m$ и $n$. По аналогии с предыдущим пунктом, сначала находим квадраты чисел: $m^2$ и $n^2$. Затем вычитаем квадрат второго числа из квадрата первого. Получаем выражение $m^2 - n^2$.

Ответ: $m^2 - n^2$

г) Квадрат разности чисел $m$ и $n$. Сначала находим разность чисел, что дает нам $m - n$. Затем возводим полученную разность в квадрат, не забывая про скобки. Выражение имеет вид $(m - n)^2$.

Ответ: $(m - n)^2$

д) Удвоенное произведение квадратов чисел $x$ и $y$. Сначала находим квадраты чисел: $x^2$ и $y^2$. Затем находим их произведение: $x^2y^2$. "Удвоенное" означает, что результат нужно умножить на 2. Таким образом, получаем выражение $2x^2y^2$.

Ответ: $2x^2y^2$

е) Удвоенное произведение куба $a$ и квадрата $b$. Сначала находим куб числа $a$ (третья степень) — это $a^3$, и квадрат числа $b$ (вторая степень) — это $b^2$. Затем находим их произведение: $a^3b^2$. Наконец, удваиваем это произведение, то есть умножаем на 2. Получаем выражение $2a^3b^2$.

Ответ: $2a^3b^2$

414. Прочитайте выражение:

а) Выражение $(x + y)^2$ представляет собой сумму двух чисел, $x$ и $y$, возведённую во вторую степень (в квадрат). В математическом языке это называется "квадрат суммы".
Ответ: Квадрат суммы чисел $x$ и $y$.

б) Выражение $x^2 + y^2$ представляет собой операцию сложения двух слагаемых, каждое из которых является квадратом числа ($x^2$ и $y^2$). Это читается как "сумма квадратов".
Ответ: Сумма квадратов чисел $x$ и $y$.

в) Выражение $(x - y)^2$ представляет собой разность двух чисел, $x$ и $y$, возведённую во вторую степень. Это читается как "квадрат разности".
Ответ: Квадрат разности чисел $x$ и $y$.

г) Выражение $x^2 - y^2$ является разностью, где уменьшаемое — это квадрат числа $x$, а вычитаемое — квадрат числа $y$. Это читается как "разность квадратов".
Ответ: Разность квадратов чисел $x$ и $y$.

д) Выражение $(x - y)^3$ представляет собой разность двух чисел, $x$ и $y$, возведённую в третью степень (в куб). Это читается как "куб разности".
Ответ: Куб разности чисел $x$ и $y$.

е) Выражение $x^3 + y^3$ представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых является кубом числа ($x^3$ и $y^3$). Это читается как "сумма кубов".
Ответ: Сумма кубов чисел $x$ и $y$.

ж) Выражение $2(a - b)^2$ представляет собой произведение числа 2 на "квадрат разности чисел $a$ и $b$". Такое выражение обычно называют "удвоенным квадратом разности".
Ответ: Удвоенный квадрат разности чисел $a$ и $b$.

з) Выражение $3(a^2 + b^2)$ представляет собой произведение числа 3 на "сумму квадратов чисел $a$ и $b$". Такое выражение обычно называют "утроенной суммой квадратов".
Ответ: Утроенная сумма квадратов чисел $a$ и $b$.

415. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 1,2x − 30 с осью x и осью у.

Пересечение с осью x

Чтобы найти координаты точки пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$), необходимо подставить $y = 0$ в уравнение функции, так как у любой точки на оси $x$ ордината равна нулю.

Подставляем $y = 0$ в уравнение $y = 1,2x - 30$:
$0 = 1,2x - 30$
Переносим 30 в левую часть уравнения:
$30 = 1,2x$
Находим $x$:
$x = \frac{30}{1,2}$
Для удобства вычисления умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{300}{12}$
$x = 25$

Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(25; 0)$.

Ответ: $(25; 0)$.

Пересечение с осью y

Чтобы найти координаты точки пересечения графика с осью ординат (осью $y$), необходимо подставить $x = 0$ в уравнение функции, так как у любой точки на оси $y$ абсцисса равна нулю.

Подставляем $x = 0$ в уравнение $y = 1,2x - 30$:
$y = 1,2 \cdot 0 - 30$
$y = 0 - 30$
$y = -30$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; -30)$.

Ответ: $(0; -30)$.

416. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

a) y = −4x + 1,3 и y = x − 2,7;

б) y = −x + 8,1 и y = −3x + 7,9.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций $y=-4x+1,3$ и $y=x-2,7$, необходимо решить систему уравнений. В точке пересечения значения $x$ и $y$ для обеих функций совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$-4x+1,3 = x-2,7$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$1,3+2,7 = x+4x$

$4 = 5x$

$x = \frac{4}{5}$

$x = 0,8$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Чтобы найти ординату ($y$), подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся вторым уравнением, так как оно проще:

$y = x - 2,7 = 0,8 - 2,7 = -1,9$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков — $(0,8; -1,9)$.

Ответ: $(0,8; -1,9)$

б) Аналогично найдем точку пересечения для функций $y=-x+8,1$ и $y=-3x+7,9$. Приравняем правые части уравнений:

$-x+8,1 = -3x+7,9$

Решим уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$-x+3x = 7,9-8,1$

$2x = -0,2$

$x = \frac{-0,2}{2}$

$x = -0,1$

Теперь найдем координату $y$, подставив $x = -0,1$ в первое уравнение:

$y = -x+8,1 = -(-0,1) + 8,1 = 0,1 + 8,1 = 8,2$

Следовательно, координаты точки пересечения — $(-0,1; 8,2)$.

Ответ: $(-0,1; 8,2)$

417. Каково взаимное расположение графиков функций:

а) у = − 12х + 3 и y = −12x − 3; б) y = 23x + 4 и y = −23x + 4?

Постройте схематически графики данных функций.

Для определения взаимного расположения графиков линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$ (координата пересечения с осью $Oy$).

• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \ne b_2$), то графики функций — это параллельные прямые.
• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \ne k_2$), то графики функций — это пересекающиеся прямые.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают.

Рассмотрим функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = -\frac{1}{2}x - 3$.

Для первой функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$ имеем: угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$, свободный член $b_1 = 3$.

Для второй функции $y = -\frac{1}{2}x - 3$ имеем: угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$, свободный член $b_2 = -3$.

Сравниваем коэффициенты: $k_1 = k_2 = -\frac{1}{2}$ и $b_1 \ne b_2$ (так как $3 \ne -3$). Согласно правилу, если угловые коэффициенты равны, а свободные члены нет, то прямые параллельны.

Для построения схематического графика найдем по две точки для каждой прямой. Для построения прямой достаточно двух точек.

Для графика функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$:

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
• При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.

Для графика функции $y = -\frac{1}{2}x - 3$:

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
• При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 - 3 = -1 - 3 = -4$. Получаем точку $(2; -4)$.

На координатной плоскости строим первую прямую через точки $(0; 3)$ и $(2; 2)$, а вторую — через точки $(0; -3)$ и $(2; -4)$. Мы увидим две параллельные прямые, убывающие при возрастании $x$ (так как $k < 0$).

Ответ: Графики функций являются параллельными прямыми.

Рассмотрим функции $y = \frac{2}{3}x + 4$ и $y = -\frac{2}{3}x + 4$.

Для первой функции $y = \frac{2}{3}x + 4$ имеем: угловой коэффициент $k_1 = \frac{2}{3}$, свободный член $b_1 = 4$.

Для второй функции $y = -\frac{2}{3}x + 4$ имеем: угловой коэффициент $k_2 = -\frac{2}{3}$, свободный член $b_2 = 4$.

Сравниваем коэффициенты: $k_1 \ne k_2$ (так как $\frac{2}{3} \ne -\frac{2}{3}$). Согласно правилу, если угловые коэффициенты не равны, то прямые пересекаются.

Так как свободные члены равны ($b_1 = b_2 = 4$), то точка пересечения этих прямых находится на оси ординат (оси $Oy$) и имеет координаты $(0; 4)$.

Для построения схематического графика найдем еще по одной точке для каждой прямой.

Для графика функции $y = \frac{2}{3}x + 4$:

• Мы уже знаем одну точку — $(0; 4)$.
• При $x = 3$, $y = \frac{2}{3} \cdot 3 + 4 = 2 + 4 = 6$. Получаем точку $(3; 6)$.

Для графика функции $y = -\frac{2}{3}x + 4$:

• Мы уже знаем одну точку — $(0; 4)$.
• При $x = 3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 4 = -2 + 4 = 2$. Получаем точку $(3; 2)$.

На координатной плоскости строим первую прямую через точки $(0; 4)$ и $(3; 6)$, а вторую — через точки $(0; 4)$ и $(3; 2)$. Мы увидим две прямые, пересекающиеся в точке $(0; 4)$. Первая прямая возрастает (так как $k_1 > 0$), а вторая убывает (так как $k_2 < 0$).

Ответ: Графики функций являются пересекающимися прямыми.