Страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

422. Представьте выражение х⁶ в виде произведения двух степеней с основанием х всеми возможными способами.

Для того чтобы представить выражение $x^6$ в виде произведения двух степеней с основанием $x$, мы воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Таким образом, задача сводится к нахождению двух показателей степени, $a$ и $b$, таких, что их сумма равна 6.

В условии задачи не указано, какими числами могут быть показатели степеней. Если предположить, что показатели могут быть любыми целыми (включая отрицательные и ноль) или даже дробными числами, то существует бесконечное множество решений. Например, $x^7 \cdot x^{-1} = x^6$ или $x^{2.5} \cdot x^{3.5} = x^6$. Однако в рамках школьного курса, если не оговорено иное, под "степенями" обычно понимают степени с натуральными показателями (целыми положительными числами: 1, 2, 3, ...). При таком условии мы можем перечислить все возможные способы.

Найдем все упорядоченные пары натуральных чисел $(a, b)$, для которых выполняется равенство $a+b=6$, и запишем соответствующие им произведения:

• Пара (1, 5): $1 + 5 = 6 \implies x^6 = x^1 \cdot x^5 = x \cdot x^5$
• Пара (2, 4): $2 + 4 = 6 \implies x^6 = x^2 \cdot x^4$
• Пара (3, 3): $3 + 3 = 6 \implies x^6 = x^3 \cdot x^3$
• Пара (4, 2): $4 + 2 = 6 \implies x^6 = x^4 \cdot x^2$
• Пара (5, 1): $5 + 1 = 6 \implies x^6 = x^5 \cdot x^1 = x^5 \cdot x$

Мы получили 5 различных способов представления выражения $x^6$ в виде произведения двух степеней с натуральными показателями, учитывая порядок множителей.

Ответ: $x \cdot x^5$; $x^2 \cdot x^4$; $x^3 \cdot x^3$; $x^4 \cdot x^2$; $x^5 \cdot x$.

423. Представьте в виде степени произведение:

Для решения данной задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней их основание остается прежним, а показатели складываются. Формула этого свойства: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

а) Дано произведение $x^2 x^5 x^4$.

Все множители имеют одинаковое основание $x$. Чтобы представить это произведение в виде степени, нужно сложить показатели степеней: $2$, $5$ и $4$.

$x^2 x^5 x^4 = x^{2+5+4} = x^{11}$.

Ответ: $x^{11}$.

б) Дано произведение $y^3 y^2 y$.

Все множители имеют одинаковое основание $y$. Важно помнить, что $y$ — это то же самое, что и $y^1$. Складываем показатели степеней: $3$, $2$ и $1$.

$y^3 y^2 y = y^{3+2+1} = y^6$.

Ответ: $y^6$.

в) Дано произведение $m m^3 m^2 m^5$.

Основание у всех множителей одинаковое и равно $m$. Множитель $m$ можно записать как $m^1$. Складываем все показатели степеней: $1$, $3$, $2$ и $5$.

$m m^3 m^2 m^5 = m^{1+3+2+5} = m^{11}$.

Ответ: $m^{11}$.

г) Дано произведение $p^4 p^3 p p$.

Основание степени для всех множителей — $p$. Множители $p$ эквивалентны $p^1$. Складываем показатели: $4$, $3$, $1$ и $1$.

$p^4 p^3 p p = p^{4+3+1+1} = p^9$.

Ответ: $p^9$.

д) Дано произведение $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5$.

Основание степени для всех множителей равно $10$. Чтобы представить произведение в виде одной степени, складываем показатели: $2$, $3$ и $5$.

$10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5 = 10^{2+3+5} = 10^{10}$.

Ответ: $10^{10}$.

е) Дано произведение $3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3$.

Все множители являются степенями числа $3$. Последний множитель, $3$, равен $3^1$. Складываем показатели степеней: $4$, $2$, $3$ и $1$.

$3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3 = 3^{4+2+3+1} = 3^{10}$.

Ответ: $3^{10}$.

424. Запишите в виде степени выражение:

Для решения данной задачи воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней с одинаковым основанием основание остается тем же, а показатели степеней складываются. Это правило можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также следует помнить, что любое число или переменная без явно указанного показателя степени имеет показатель 1, например, $a = a^1$.

а) $m^3 m^2 m^8$

В данном выражении все множители имеют одинаковое основание $m$. Чтобы представить это выражение в виде степени, сложим показатели степеней: 3, 2 и 8.

$m^3 m^2 m^8 = m^{3+2+8} = m^{13}$

Ответ: $m^{13}$

б) $a^4 a^3 a^2$

Основание степени для всех множителей — $a$. Складываем показатели степеней: 4, 3 и 2.

$a^4 a^3 a^2 = a^{4+3+2} = a^9$

Ответ: $a^9$

в) $xx^4x^4x$

Основание степени для всех множителей — $x$. Множители $x$ без показателя степени имеют показатель 1, то есть $x = x^1$. Складываем все показатели.

$xx^4x^4x = x^1 \cdot x^4 \cdot x^4 \cdot x^1 = x^{1+4+4+1} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$

г) $n^5nn^8n^6$

Основание степени — $n$. Множитель $n$ без показателя степени равен $n^1$. Складываем показатели.

$n^5nn^8n^6 = n^5 \cdot n^1 \cdot n^8 \cdot n^6 = n^{5+1+8+6} = n^{20}$

Ответ: $n^{20}$

д) $7^8 \cdot 7 \cdot 7^4$

Основание степени — число 7. Множитель 7 следует рассматривать как $7^1$. Складываем показатели.

$7^8 \cdot 7 \cdot 7^4 = 7^8 \cdot 7^1 \cdot 7^4 = 7^{8+1+4} = 7^{13}$

Ответ: $7^{13}$

е) $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5$

Основание степени — число 5. Множитель 5 равен $5^1$. Складываем показатели.

$5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5 = 5^1 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5 = 5^{1+2+3+5} = 5^{11}$

Ответ: $5^{11}$

425. Представьте в виде степени:

а) Чтобы представить выражение $5^8 \cdot 25$ в виде степени, необходимо привести оба множителя к одному основанию. Основание первого множителя равно 5. Представим число 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$. Теперь исходное выражение имеет вид: $5^8 \cdot 5^2$. Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это свойство, получаем: $5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}$.
Ответ: $5^{10}$

б) Рассмотрим выражение $3^{12} \cdot 27$. Основание первого множителя равно 3. Представим число 27 как степень с основанием 3. Так как $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, то выражение можно переписать в виде: $3^{12} \cdot 3^3$. Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, находим: $3^{12} \cdot 3^3 = 3^{12+3} = 3^{15}$.
Ответ: $3^{15}$

в) Дано выражение $6^{15} \cdot 36$. Основание первого множителя равно 6. Представим число 36 как степень с основанием 6: $36 = 6^2$. Подставим это в исходное выражение: $6^{15} \cdot 6^2$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем: $6^{15} \cdot 6^2 = 6^{15+2} = 6^{17}$.
Ответ: $6^{17}$

г) Рассмотрим выражение $2^9 \cdot 32$. Основание первого множителя равно 2. Представим число 32 как степень с основанием 2: $32 = 2^5$. Тогда выражение примет вид: $2^9 \cdot 2^5$. Применяя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим: $2^9 \cdot 2^5 = 2^{9+5} = 2^{14}$.
Ответ: $2^{14}$

д) Дано выражение $0,4^5 \cdot 0,16$. Основание первого множителя равно 0,4. Представим число 0,16 как степень с основанием 0,4. Так как $0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$, то выражение можно записать как: $0,4^5 \cdot 0,4^2$. Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, находим: $0,4^5 \cdot 0,4^2 = 0,4^{5+2} = 0,4^7$.
Ответ: $0,4^7$

е) Рассмотрим выражение $0,001 \cdot 0,1^4$. Основание второго множителя равно 0,1. Представим число 0,001 как степень с основанием 0,1. Мы знаем, что $0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$. Тогда исходное выражение можно переписать в виде: $0,1^3 \cdot 0,1^4$. Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $0,1^3 \cdot 0,1^4 = 0,1^{3+4} = 0,1^7$.
Ответ: $0,1^7$

426. Представив в виде степени выражение, найдите его значение по таблице степеней числа 2:

а) 2⁴ · 2; б) 2⁶ · 4; в) 8 · 2⁷; г) 16 · 32.

а) Чтобы представить выражение $2^4 \cdot 2$ в виде степени, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Число 2 можно представить как $2^1$.
Таким образом, выражение можно переписать: $2^4 \cdot 2^1$.
Применяем свойство степеней: $2^4 \cdot 2^1 = 2^{4+1} = 2^5$.
Теперь найдем значение этого выражения, как указано в условии, по таблице степеней числа 2 (или вычислим): $2^5 = 32$.
Ответ: $32$.

б) Сначала представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.
Теперь выражение $2^6 \cdot 4$ можно записать как $2^6 \cdot 2^2$.
Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $2^6 \cdot 2^2 = 2^{6+2} = 2^8$.
Найдем значение выражения: $2^8 = 256$.
Ответ: $256$.

в) Представим число 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Тогда выражение $8 \cdot 2^7$ можно переписать в виде $2^3 \cdot 2^7$.
Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $2^3 \cdot 2^7 = 2^{3+7} = 2^{10}$.
Вычислим значение: $2^{10} = 1024$.
Ответ: $1024$.

г) Сначала представим каждый множитель в выражении $16 \cdot 32$ в виде степени с основанием 2.
$16 = 2^4$.
$32 = 2^5$.
Таким образом, произведение можно записать как $2^4 \cdot 2^5$.
По свойству умножения степеней: $2^4 \cdot 2^5 = 2^{4+5} = 2^9$.
Найдем значение полученной степени: $2^9 = 512$.
Ответ: $512$.

427. По таблице степеней числа 3 найдите значение выражения, представив его в виде степени с основанием 3:

а) 3² · 3⁵; 6) 81 · 3⁶; в) 9 · 2187; г) 27 · 243.

а) Для того чтобы найти значение выражения $3^2 \cdot 3^5$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Представим выражение в виде степени с основанием 3:
$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5} = 3^7$.
Теперь найдем значение этой степени. По таблице степеней числа 3 (или путем вычисления) находим:
$3^7 = 2187$.
Ответ: 2187.

б) Сначала представим число 81 в виде степени с основанием 3. Из таблицы степеней известно, что $81 = 3^4$.
Теперь исходное выражение $81 \cdot 3^6$ можно переписать как $3^4 \cdot 3^6$.
Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием:
$3^4 \cdot 3^6 = 3^{4+6} = 3^{10}$.
Найдем значение $3^{10}$ по таблице степеней или вычислением:
$3^{10} = 59049$.
Ответ: 59049.

в) Представим оба множителя, 9 и 2187, в виде степеней с основанием 3.
Из таблицы степеней известно, что $9 = 3^2$ и $2187 = 3^7$.
Таким образом, выражение $9 \cdot 2187$ становится $3^2 \cdot 3^7$.
Используя свойство умножения степеней, получаем:
$3^2 \cdot 3^7 = 3^{2+7} = 3^9$.
Найдем значение $3^9$:
$3^9 = 19683$.
Ответ: 19683.

г) Представим числа 27 и 243 в виде степеней с основанием 3.
Из таблицы степеней: $27 = 3^3$ и $243 = 3^5$.
Тогда выражение $27 \cdot 243$ можно записать как $3^3 \cdot 3^5$.
Применяем свойство умножения степеней:
$3^3 \cdot 3^5 = 3^{3+5} = 3^8$.
Вычислим значение $3^8$:
$3^8 = 6561$.
Ответ: 6561.

428. Представьте выражение в виде степени с основанием с:

а) (с⁴)²; б) (с²)⁴.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство возведения степени в степень. Это свойство гласит, что при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Математически это записывается так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) Представим выражение $(c^4)^2$ в виде степени с основанием $c$.
Согласно свойству возведения степени в степень, нам нужно перемножить показатели 4 и 2, оставив основание $c$ без изменений.
$(c^4)^2 = c^{4 \cdot 2} = c^8$.
Ответ: $c^8$

б) Представим выражение $(c^2)^4$ в виде степени с основанием $c$.
Аналогично пункту а), применим свойство возведения степени в степень. Перемножим показатели 2 и 4, основание $c$ останется прежним.
$(c^2)^4 = c^{2 \cdot 4} = c^8$.
Ответ: $c^8$

429. Представьте в виде степени частное:

Для решения всех пунктов задачи используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула этого свойства выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

а) В выражении $x^5 : x^3$ основание степеней равно $x$. Применяем правило деления степеней: из показателя степени делимого 5 вычитаем показатель степени делителя 3.
$x^5 : x^3 = x^{5-3} = x^2$.
Ответ: $x^2$.

б) В выражении $y^{10} : y^7$ основание степеней равно $y$. Вычитаем из показателя степени 10 показатель 7.
$y^{10} : y^7 = y^{10-7} = y^3$.
Ответ: $y^3$.

в) В выражении $a^{21} : a$ делитель $a$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $a^1$. Основание степеней равно $a$. Вычитаем из показателя 21 показатель 1.
$a^{21} : a = a^{21} : a^1 = a^{21-1} = a^{20}$.
Ответ: $a^{20}$.

г) В выражении $b^{19} : b^{18}$ основание степеней равно $b$. Вычитаем из показателя 19 показатель 18.
$b^{19} : b^{18} = b^{19-18} = b^1 = b$.
Ответ: $b$.

д) В выражении $c^{12} : c^3$ основание степеней равно $c$. Вычитаем из показателя 12 показатель 3.
$c^{12} : c^3 = c^{12-3} = c^9$.
Ответ: $c^9$.

е) В выражении $p^{20} : p^{10}$ основание степеней равно $p$. Вычитаем из показателя 20 показатель 10.
$p^{20} : p^{10} = p^{20-10} = p^{10}$.
Ответ: $p^{10}$.

ж) В выражении $3^8 : 3^5$ основание степеней равно 3. Вычитаем из показателя 8 показатель 5.
$3^8 : 3^5 = 3^{8-5} = 3^3$.
Ответ: $3^3$.

з) В выражении $0,7^9 : 0,7^4$ основание степеней равно 0,7. Вычитаем из показателя 9 показатель 4.
$0,7^9 : 0,7^4 = 0,7^{9-4} = 0,7^5$.
Ответ: $0,7^5$.

430. Выполните деление:

а) Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство выражается формулой $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применяя это правило к выражению $p^{10} : p^6$, получаем:

$p^{10} : p^6 = p^{10-6} = p^4$.

Ответ: $p^4$.

б) Используем то же свойство частного степеней с одинаковым основанием $a$.

$a^8 : a^4 = a^{8-4} = a^4$.

Ответ: $a^4$.

в) В данном случае основание равно $x$. Вычитаем показатели степеней:

$x^{15} : x^4 = x^{15-4} = x^{11}$.

Ответ: $x^{11}$.

г) Переменная $y$ без показателя степени эквивалентна $y^1$. Таким образом, деление принимает вид:

$y^9 : y = y^9 : y^1 = y^{9-1} = y^8$.

Ответ: $y^8$.

д) Основанием степени является число 10. Выполняем деление, вычитая показатели:

$10^{16} : 10^{12} = 10^{16-12} = 10^4$.

Ответ: $10^4$.

е) Основанием степени является десятичная дробь 2,3. Правило деления степеней остается неизменным.

$2,3^{16} : 2,3^7 = 2,3^{16-7} = 2,3^9$.

Ответ: $2,3^9$.

431. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) 5^6 : 5^4;$

$\mathrm{б}) {10}^{15} : {10}^{12};$

$\mathrm{в}) 0,5^{10} : 0,5^7;$

$\mathrm{г}) {\left(1\frac{1}{3}\right)}^8: {\left(1\frac{1}{3}\right)}^6;$

$\mathrm{д}) 2,{73}^{13} : 2,{73}^{12};$

$\mathrm{е}) {(-\frac{2}{3})}^7: {(-\frac{2}{3})}^4;$

Для решения всех пунктов используется свойство частного степеней с одинаковым основанием, которое гласит: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).

а) $5^6 : 5^4$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием. Основание равно 5, показатели степеней — 6 и 4.

$5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

б) $10^{15} : 10^{12}$

Используем то же правило. Основание равно 10, показатели степеней — 15 и 12.

$10^{15} : 10^{12} = 10^{15-12} = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000

в) $0,5^{10} : 0,5^7$

Основание равно 0,5, показатели степеней — 10 и 7.

$0,5^{10} : 0,5^7 = 0,5^{10-7} = 0,5^3$.

Вычислим значение: $0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$.

Ответ: 0,125

г) $(1\frac{1}{3})^8 : (1\frac{1}{3})^6$

Основание равно $1\frac{1}{3}$, показатели степеней — 8 и 6.

$(1\frac{1}{3})^8 : (1\frac{1}{3})^6 = (1\frac{1}{3})^{8-6} = (1\frac{1}{3})^2$.

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь возведем в квадрат: $(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.

Ответ: $1\frac{7}{9}$

д) $2,73^{13} : 2,73^{12}$

Основание равно 2,73, показатели степеней — 13 и 12.

$2,73^{13} : 2,73^{12} = 2,73^{13-12} = 2,73^1 = 2,73$.

Ответ: 2,73

е) $(-\frac{2}{3})^7 : (-\frac{2}{3})^4$

Основание равно $(-\frac{2}{3})$, показатели степеней — 7 и 4.

$(-\frac{2}{3})^7 : (-\frac{2}{3})^4 = (-\frac{2}{3})^{7-4} = (-\frac{2}{3})^3$.

Возведем в куб: $(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.

Ответ: $-\frac{8}{27}$

432. Найдите значение дроби:

$\mathrm{а}) \frac{8^6}{8^4};$ $\mathrm{б}) \frac{0,8^7}{0,8^4};$ $\mathrm{в}) \frac{{(-0,3)}^5}{{(-0,3)}^3};$ $\mathrm{г}) \frac{{\left(1{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4}{{\left(1\frac{1}{2}\right)}^2};$ $\mathrm{д}) \frac{{(-2{\displaystyle \frac{1}{3}})}^6}{{(-2\frac{1}{3})}^3}.$

а) Для нахождения значения дроби воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{8^6}{8^4} = 8^{6-4} = 8^2 = 64$.

Ответ: 64.

б) Применим то же свойство степени для десятичных дробей.

$\frac{0,8^7}{0,8^4} = 0,8^{7-4} = 0,8^3 = 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,512$.

Ответ: 0,512.

в) Свойство деления степеней с одинаковым основанием справедливо и для отрицательных оснований.

$\frac{(-0,3)^5}{(-0,3)^3} = (-0,3)^{5-3} = (-0,3)^2 = 0,09$.

Ответ: 0,09.

г) В данном случае основанием является смешанное число. Сначала применим свойство частного степеней, а затем выполним вычисления. Для удобства можно преобразовать смешанное число в неправильную дробь.

$\frac{(1\frac{1}{2})^4}{(1\frac{1}{2})^2} = (1\frac{1}{2})^{4-2} = (1\frac{1}{2})^2$.

Преобразуем $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь возведем в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Ответ: $2\frac{1}{4}$.

д) Здесь основание — отрицательное смешанное число. Алгоритм решения аналогичен предыдущему пункту.

$\frac{(-2\frac{1}{3})^6}{(-2\frac{1}{3})^3} = (-2\frac{1}{3})^{6-3} = (-2\frac{1}{3})^3$.

Преобразуем $-2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $-2\frac{1}{3} = -(\frac{2 \times 3 + 1}{3}) = -\frac{7}{3}$.

Возведем в куб: $(-\frac{7}{3})^3 = -(\frac{7^3}{3^3}) = -\frac{343}{27}$.

Выделим целую часть: $-\frac{343}{27} = -12\frac{19}{27}$.

Ответ: $-12\frac{19}{27}$.

433. Вычислите:

а) 7⁵ · 7⁹7¹²; б)3¹⁵3⁵ · 3⁶; в) 5¹⁶ · 5⁴5¹⁸; г) 0,6¹²0,6⁴ · 0,6⁵.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{7^9 \cdot 7^5}{7^{12}}$, мы будем использовать свойства степеней.

Сначала упростим числитель дроби. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^9 \cdot 7^5 = 7^{9+5} = 7^{14}$

Теперь подставим полученное значение обратно в дробь:

$\frac{7^{14}}{7^{12}}$

Далее, для упрощения дроби применим правило деления степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{7^{14}}{7^{12}} = 7^{14-12} = 7^2$

Наконец, вычислим полученное значение:

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

Ответ: 49.

б) Для вычисления выражения $\frac{3^{15}}{3^5 \cdot 3^6}$ сначала упростим знаменатель.

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^5 \cdot 3^6 = 3^{5+6} = 3^{11}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$\frac{3^{15}}{3^{11}}$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{15}}{3^{11}} = 3^{15-11} = 3^4$

Вычислим конечный результат:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Ответ: 81.

в) Вычислим значение выражения $\frac{5^{16} \cdot 5^4}{5^{18}}$.

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{16} \cdot 5^4 = 5^{16+4} = 5^{20}$

Подставим полученное значение в дробь:

$\frac{5^{20}}{5^{18}}$

Далее, применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^{20}}{5^{18}} = 5^{20-18} = 5^2$

Вычислим результат:

$5^2 = 25$

Ответ: 25.

г) Вычислим значение выражения $\frac{0,6^{12}}{0,6^4 \cdot 0,6^5}$.

Сначала упростим знаменатель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$0,6^4 \cdot 0,6^5 = 0,6^{4+5} = 0,6^9$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{0,6^{12}}{0,6^9}$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{0,6^{12}}{0,6^9} = 0,6^{12-9} = 0,6^3$

Остается вычислить полученное значение:

$0,6^3 = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \cdot 0,6 = 0,216$

Ответ: 0,216.