Страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

470. Является ли одночленом выражение:

а) Выражение $3,4x^2y$ является произведением числового множителя $3,4$ и переменных $x$ и $y$, возведенных в неотрицательные целые степени ($x$ во второй степени, $y$ в первой). По определению, такое выражение является одночленом.

Ответ: да, является.

б) Выражение $-0,7xy^2$ является произведением числового множителя $-0,7$ и переменных $x$ и $y$, возведенных в неотрицательные целые степени ($x$ в первой степени, $y$ во второй). Следовательно, это одночлен.

Ответ: да, является.

в) Выражение $a(-0,8)$ можно записать в стандартном виде как $-0,8a$. Это произведение числа $-0,8$ и переменной $a$ в первой степени. Следовательно, это одночлен.

Ответ: да, является.

г) Выражение $x^2 + x$ представляет собой сумму двух одночленов: $x^2$ и $x$. Алгебраическое выражение, содержащее операции сложения или вычитания нескольких одночленов, не является одночленом. Это многочлен (в данном случае — двучлен).

Ответ: нет, не является.

д) Выражение $x^2x$ можно упростить, используя свойство степеней с одинаковым основанием: $x^2x = x^{2+1} = x^3$. Выражение $x^3$ является переменной в натуральной степени, что соответствует определению одночлена.

Ответ: да, является.

е) Выражение $-\frac{3}{4}m^3nm^2$ является произведением числа и переменных. Его можно привести к стандартному виду, перемножив переменные с одинаковым основанием: $-\frac{3}{4}(m^3 \cdot m^2)n = -\frac{3}{4}m^{3+2}n = -\frac{3}{4}m^5n$. Полученное выражение является произведением числа и переменных в степенях, поэтому это одночлен.

Ответ: да, является.

ж) Выражение $a - b$ представляет собой разность двух переменных (двух одночленов). Так как оно содержит операцию вычитания, оно не является одночленом. Это многочлен.

Ответ: нет, не является.

з) Выражение $2(x+y)^2$ содержит сумму переменных $(x+y)$ в скобках. Если раскрыть скобки, используя формулу квадрата суммы, получим $2(x^2 + 2xy + y^2) = 2x^2 + 4xy + 2y^2$, что является многочленом (трёхчленом). Таким образом, исходное выражение не является одночленом.

Ответ: нет, не является.

и) Выражение $-0,3xy^2$ является произведением числового множителя $-0,3$ и переменных $x$ и $y$ в натуральных степенях ($x^1$ и $y^2$). По определению, это одночлен.

Ответ: да, является.

к) Выражение $c^{10}$ является переменной, возведенной в натуральную степень. Его можно представить как произведение числового коэффициента $1$ и переменной $c^{10}$. Это одночлен.

Ответ: да, является.

л) Выражение $-m$ можно записать как $-1 \cdot m^1$. Это произведение числа и переменной в степени, то есть одночлен.

Ответ: да, является.

м) Выражение $0,6$ является числом. Любое число (константа) по определению считается одночленом (одночлен нулевой степени, так как любую переменную в нулевой степени можно считать равной 1, например $0,6 = 0,6x^0$).

Ответ: да, является.

471. Записан ли в стандартном виде одночлен:

Стандартный вид одночлена — это его запись в виде произведения числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. В стандартном виде каждая переменная встречается только один раз. Проанализируем каждый случай.

а) $6xy$

Этот одночлен записан в стандартном виде. У него есть числовой коэффициент $6$, который стоит на первом месте. Каждая переменная, $x$ и $y$, встречается только один раз, и они записаны в алфавитном порядке.
Ответ: да.

б) $-2aba$

Этот одночлен не находится в стандартном виде, поскольку переменная $a$ повторяется. Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо перемножить одинаковые переменные: $-2aba = -2(a \cdot a)b = -2a^2b$.
Ответ: нет.

в) $0,5m \cdot 2n$

Данное выражение не является одночленом стандартного вида, так как содержит два числовых множителя ($0,5$ и $2$). Стандартный вид предполагает наличие только одного коэффициента. Чтобы привести к стандартному виду, нужно перемножить числовые множители: $0,5m \cdot 2n = (0,5 \cdot 2)mn = 1mn = mn$.
Ответ: нет.

г) $-bca$

Этот одночлен не записан в стандартном виде. Хотя каждая переменная встречается по одному разу, они расположены не в алфавитном порядке ($a, b, c$). Стандартная запись этого одночлена: $-abc$.
Ответ: нет.

д) $-x^2y^3$

Этот одночлен записан в стандартном виде. Коэффициент равен $-1$ (он подразумевается и не пишется), переменные $x$ и $y$ не повторяются и записаны в алфавитном порядке.
Ответ: да.

е) $5p^3p^2$

Этот одночлен не записан в стандартном виде, так как переменная $p$ встречается дважды (в виде $p^3$ и $p^2$). Для приведения к стандартному виду необходимо объединить степени с одинаковым основанием: $5p^3p^2 = 5p^{3+2} = 5p^5$.
Ответ: нет.

472. Представьте одночлен в стандартном виде и назовите его коэффициент:

а) Чтобы представить одночлен $8x^2x$ в стандартном виде, необходимо перемножить степени с одинаковыми основаниями. Числовой множитель равен 8. Произведение степеней переменной $x$ равно $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$. Таким образом, стандартный вид одночлена — $8x^3$. Его коэффициент — это числовой множитель в стандартной записи, который равен 8.
Ответ: стандартный вид $8x^3$, коэффициент 8.

б) В одночлене $1,2abc \cdot 5a$ сначала перемножим числовые множители: $1,2 \cdot 5 = 6$. Затем сгруппируем и перемножим переменные с одинаковыми основаниями: $a \cdot a = a^{1+1} = a^2$. Запишем одночлен в стандартном виде, поставив числовой коэффициент на первое место, а переменные в алфавитном порядке: $6a^2bc$. Коэффициент этого одночлена равен 6.
Ответ: стандартный вид $6a^2bc$, коэффициент 6.

в) В выражении $3xy(-1,7)y$ перемножим числовые множители: $3 \cdot (-1,7) = -5,1$. Затем перемножим степени переменной $y$: $y \cdot y = y^{1+1} = y^2$. Стандартный вид одночлена, с переменными в алфавитном порядке, будет $-5,1xy^2$. Его коэффициент равен -5,1.
Ответ: стандартный вид $-5,1xy^2$, коэффициент -5,1.

г) Для одночлена $6c^2(-0,8)c$ выполним умножение числовых коэффициентов: $6 \cdot (-0,8) = -4,8$. Затем умножим степени переменной $c$: $c^2 \cdot c = c^{2+1} = c^3$. Стандартный вид одночлена: $-4,8c^3$. Коэффициент равен -4,8.
Ответ: стандартный вид $-4,8c^3$, коэффициент -4,8.

д) В одночлене $\frac{2}{3}m^2n \cdot 4,5n^3$ сначала перемножим числовые коэффициенты. Представим десятичную дробь 4,5 в виде обыкновенной дроби: $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$. Произведение коэффициентов: $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = 3$. Теперь перемножим переменные: $m^2$ остается без изменений, а произведение степеней $n$ равно $n \cdot n^3 = n^{1+3} = n^4$. Стандартный вид одночлена: $3m^2n^4$. Коэффициент равен 3.
Ответ: стандартный вид $3m^2n^4$, коэффициент 3.

е) Рассмотрим одночлен $2\frac{1}{3}a^2x(-\frac{3}{7})a^3x^2$. Переведем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Умножим числовые коэффициенты: $\frac{7}{3} \cdot (-\frac{3}{7}) = -1$. Теперь перемножим степени с одинаковыми основаниями: $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$ и $x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$. Стандартный вид одночлена: $-1a^5x^3$, что принято записывать как $-a^5x^3$. Коэффициент этого одночлена равен -1.
Ответ: стандартный вид $-a^5x^3$, коэффициент -1.

473. Приведите одночлен к стандартному виду:

а) Для приведения одночлена $9yy^2y$ к стандартному виду необходимо перемножить все числовые множители и степени одинаковых переменных. Числовой коэффициент здесь один — это 9. Произведение переменных равно $y \cdot y^2 \cdot y = y^{1+2+1} = y^4$. Таким образом, стандартный вид одночлена: $9y^4$.
Ответ: $9y^4$.

б) В одночлене $0,15pq \cdot 4pq^2$ перемножим числовые коэффициенты: $0,15 \cdot 4 = 0,6$. Затем перемножим степени одинаковых переменных: $p \cdot p = p^{1+1} = p^2$ и $q \cdot q^2 = q^{1+2} = q^3$. Объединив результаты, получаем стандартный вид: $0,6p^2q^3$.
Ответ: $0,6p^2q^3$.

в) Рассмотрим одночлен $-8ab(-2,5)b^2$. Сначала перемножим числовые коэффициенты: $-8 \cdot (-2,5) = 20$. Переменная $a$ встречается один раз. Для переменной $b$ имеем: $b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$. Стандартный вид одночлена: $20ab^3$.
Ответ: $20ab^3$.

г) В одночлене $10a^2b^2(-1,2a^3)$ произведение числовых коэффициентов равно $10 \cdot (-1,2) = -12$. Произведение степеней переменной $a$ равно $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$. Степень $b^2$ остается без изменений. Собираем всё вместе и получаем стандартный вид: $-12a^5b^2$.
Ответ: $-12a^5b^2$.

д) Приведем одночлен $2m^3n \cdot 0,4mn$ к стандартному виду. Произведение коэффициентов: $2 \cdot 0,4 = 0,8$. Произведение степеней переменной $m$: $m^3 \cdot m = m^{3+1} = m^4$. Произведение степеней переменной $n$: $n \cdot n = n^{1+1} = n^2$. Стандартный вид: $0,8m^4n^2$.
Ответ: $0,8m^4n^2$.

е) Рассмотрим одночлен $-2x^3 \cdot 0,5xy^2$. Произведение числовых коэффициентов: $-2 \cdot 0,5 = -1$. Произведение степеней переменной $x$: $x^3 \cdot x = x^{3+1} = x^4$. Степень $y^2$ остается без изменений. Результат: $-1x^4y^2$. По соглашению, коэффициент $-1$ опускается, и остается только знак минус. Стандартный вид одночлена: $-x^4y^2$.
Ответ: $-x^4y^2$.

474. Найдите значение одночлена:

а) −0,125р⁴ при у = −2; б) 12х²у при х = −0,3, у = 16.

а) Чтобы найти значение одночлена $-0,125y^4$ при $y = -2$, необходимо подставить значение переменной $y$ в выражение и выполнить вычисления.

1. Подставляем $y = -2$ в одночлен:

$-0,125 \cdot (-2)^4$

2. Сначала выполняем возведение в степень. Поскольку показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным:

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$

3. Теперь умножаем полученное число на коэффициент $-0,125$. Для удобства можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$.

$-0,125 \cdot 16 = -\frac{1}{8} \cdot 16 = -\frac{16}{8} = -2$

Ответ: -2

б) Чтобы найти значение одночлена $12x^2y$ при $x = -0,3$ и $y = \frac{1}{6}$, подставим значения переменных $x$ и $y$ в выражение.

1. Подставляем $x = -0,3$ и $y = \frac{1}{6}$ в одночлен:

$12 \cdot (-0,3)^2 \cdot \frac{1}{6}$

2. Сначала возводим в квадрат $-0,3$:

$(-0,3)^2 = 0,09$

3. Подставляем результат обратно в выражение:

$12 \cdot 0,09 \cdot \frac{1}{6}$

4. Для удобства вычислений можно сгруппировать множители:

$(12 \cdot \frac{1}{6}) \cdot 0,09$

5. Вычисляем произведение в скобках:

$12 \cdot \frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

6. Умножаем результат на оставшийся множитель:

$2 \cdot 0,09 = 0,18$

Ответ: 0,18

475. Вычислите значение выражения:

a) 3,7m² при m = 0,4; б) −3а²b при а = −0,1, b = 4.

а) Чтобы вычислить значение выражения $3,7m^2$ при $m = 0,4$, необходимо подставить указанное значение переменной $m$ в это выражение.
$3,7 \cdot (0,4)^2$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала возводим число в степень:
$(0,4)^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$
Теперь выполняем операцию умножения:
$3,7 \cdot 0,16 = 0,592$
Ответ: 0,592

б) Чтобы вычислить значение выражения $-3a^3b$ при $a = -0,1$ и $b = 4$, подставим значения переменных $a$ и $b$ в выражение.
$-3 \cdot (-0,1)^3 \cdot 4$
Первым шагом возводим в степень число $a$. Так как степень нечетная (3), то результат возведения отрицательного числа будет отрицательным:
$(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = -0,001$
Теперь выражение принимает вид:
$-3 \cdot (-0,001) \cdot 4$
Далее выполняем умножение. Произведение двух отрицательных чисел ($-3$ и $-0,001$) является положительным числом:
$-3 \cdot (-0,001) = 0,003$
Наконец, умножаем полученный результат на $4$:
$0,003 \cdot 4 = 0,012$
Ответ: 0,012

476. Ширина прямоугольника равна m см, а длина в 5 раз больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо сначала определить его длину, а затем перемножить длину и ширину.

1. Находим длину прямоугольника.
По условию, ширина прямоугольника равна $m$ см. Длина в 5 раз больше ширины. Чтобы найти длину, нужно умножить ширину на 5.
Длина = $m \times 5 = 5m$ см.

2. Находим площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его длины на ширину.
Формула площади: $S = \text{длина} \times \text{ширина}$.
Подставим в формулу значения длины и ширины:
$S = 5m \times m = 5m^2$ см².

Ответ: $5m^2$ см².

477. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, ширина которого а см, длина в 2 раза больше ширины, а высота в 2 раза больше длины?

Для решения задачи найдем все три измерения прямоугольного параллелепипеда: ширину, длину и высоту. Затем вычислим его объём.

1. Найдём измерения параллелепипеда.
По условию, ширина равна $a$ см.
Длина в 2 раза больше ширины, следовательно, длина равна $2 \times a = 2a$ см.
Высота в 2 раза больше длины, следовательно, высота равна $2 \times (2a) = 4a$ см.

2. Вычислим объём.
Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению его длины, ширины и высоты.
Формула объёма: $V = \text{ширина} \times \text{длина} \times \text{высота}$.
Подставим в формулу найденные значения:
$V = a \times (2a) \times (4a)$
Перемножим числовые коэффициенты и переменные:
$V = (1 \times 2 \times 4) \times (a \times a \times a) = 8a^3$

Объём параллелепипеда составляет $8a^3$ см?.

Ответ: $8a^3$ см?