Страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

478. Какова степень одночлена:

Степень одночлена определяется как сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если показатель степени у переменной не указан, он считается равным 1. Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, равна нулю.

а) Дан одночлен $-7x^5y^6$. В него входят переменные $x$ в степени 5 и $y$ в степени 6. Степень одночлена равна сумме этих показателей:
$5 + 6 = 11$.
Ответ: 11

б) Дан одночлен $-abc$. В него входят переменные $a$, $b$ и $c$. Каждая из этих переменных имеет показатель степени 1 ($a = a^1$, $b = b^1$, $c = c^1$). Степень одночлена равна сумме показателей:
$1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: 3

в) Дан одночлен $0.8mn^3k^2$. Переменные: $m$ в степени 1, $n$ в степени 3, $k$ в степени 2. Складываем показатели степеней:
$1 + 3 + 2 = 6$.
Ответ: 6

г) Дан одночлен $ab^2c^3$. Переменные: $a$ в степени 1, $b$ в степени 2, $c$ в степени 3. Находим сумму показателей степеней:
$1 + 2 + 3 = 6$.
Ответ: 6

д) Дан одночлен $-6m^7$. В нем одна переменная $m$ в степени 7. Поэтому степень одночлена равна 7.
Ответ: 7

е) Одночлен 23 является числом (константой) и не содержит переменных. Степень любого ненулевого числа, которое рассматривается как одночлен, по определению равна нулю.
Ответ: 0

479. Найдите координаты точки В, симметричной точке А(−7; 15) относительно: а) оси х; б) оси у; в) начала координат.

Для решения задачи воспользуемся правилами симметричного отображения точек на координатной плоскости. Дана точка $A$ с координатами $(-7; 15)$.

а) оси x

При симметрии относительно оси абсцисс (оси $x$), абсцисса точки остается неизменной, а ордината меняет свой знак на противоположный. Если точка $A$ имеет координаты $(x_A; y_A)$, то симметричная ей точка $B$ будет иметь координаты $(x_A; -y_A)$.
Для точки $A(-7; 15)$ имеем:
Абсцисса точки $B$ равна абсциссе точки $A$: $x_B = -7$.
Ордината точки $B$ противоположна ординате точки $A$: $y_B = -15$.
Следовательно, координаты точки $B$ равны $(-7; -15)$.

Ответ: $B(-7; -15)$

б) оси y

При симметрии относительно оси ординат (оси $y$), ордината точки остается неизменной, а абсцисса меняет свой знак на противоположный. Если точка $A$ имеет координаты $(x_A; y_A)$, то симметричная ей точка $B$ будет иметь координаты $(-x_A; y_A)$.
Для точки $A(-7; 15)$ имеем:
Абсцисса точки $B$ противоположна абсциссе точки $A$: $x_B = -(-7) = 7$.
Ордината точки $B$ равна ординате точки $A$: $y_B = 15$.
Следовательно, координаты точки $B$ равны $(7; 15)$.

Ответ: $B(7; 15)$

в) начала координат

При симметрии относительно начала координат (точки $O(0;0)$), обе координаты точки (и абсцисса, и ордината) меняют свои знаки на противоположные. Если точка $A$ имеет координаты $(x_A; y_A)$, то симметричная ей точка $B$ будет иметь координаты $(-x_A; -y_A)$.
Для точки $A(-7; 15)$ имеем:
Абсцисса точки $B$ противоположна абсциссе точки $A$: $x_B = -(-7) = 7$.
Ордината точки $B$ противоположна ординате точки $A$: $y_B = -15$.
Следовательно, координаты точки $B$ равны $(7; -15)$.

Ответ: $B(7; -15)$

480. Функция задана формулой у = − 23х. Найдите значение функции при х = −3; 3; 23; −23; 2,4. При каком каком х значении у равно 1; −6; −10,2?

Задача состоит из двух частей. В первой части мы находим значения функции $y$ для заданных значений $x$. Во второй части мы находим значения аргумента $x$, соответствующие заданным значениям функции $y$.

Найдите значение функции при x = -3; 3; 2/3; -2/3; 2,4

Для нахождения значения функции $y$ при заданных значениях $x$, подставим эти значения в формулу $y = -\frac{2}{3}x$.

Если $x = -3$, то $y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$.

Если $x = 3$, то $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$.

Если $x = \frac{2}{3}$, то $y = -\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{9}$.

Если $x = -\frac{2}{3}$, то $y = -\frac{2}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}$.

Если $x = 2,4$, то $y = -\frac{2}{3} \cdot 2,4 = -\frac{2}{3} \cdot \frac{24}{10} = -\frac{2 \cdot 8}{10} = -\frac{16}{10} = -1,6$.

Ответ: при $x=-3, y=2$; при $x=3, y=-2$; при $x=\frac{2}{3}, y=-\frac{4}{9}$; при $x=-\frac{2}{3}, y=\frac{4}{9}$; при $x=2,4, y=-1,6$.

При каком x значение y равно 1; -6; -10,2?

Для нахождения значения $x$, при котором функция принимает заданное значение $y$, необходимо выразить $x$ из формулы $y = -\frac{2}{3}x$. Для этого решим уравнение относительно $x$:

$x = y \div (-\frac{2}{3}) = y \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}y$.

Теперь подставим заданные значения $y$ в полученную формулу.

Если $y = 1$, то $x = -\frac{3}{2} \cdot 1 = -1,5$.

Если $y = -6$, то $x = -\frac{3}{2} \cdot (-6) = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$.

Если $y = -10,2$, то $x = -\frac{3}{2} \cdot (-10,2) = -1,5 \cdot (-10,2) = 15,3$.

Ответ: $y=1$ при $x=-1,5$; $y=-6$ при $x=9$; $y=-10,2$ при $x=15,3$.

481. Найдите значение выражения: а) 4³ · 3¹⁰6¹⁰; б) 2⁶ · 6¹⁸2²⁵ · 9⁹.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4^8 \cdot 3^{10}}{6^{10}}$, преобразуем его, приведя степени к общим основаниям. Для этого разложим основания 4 и 6 на простые множители.
Основание 4 можно представить как $2^2$.
Основание 6 можно представить как произведение $2 \cdot 3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^2)^8 \cdot 3^{10}}{(2 \cdot 3)^{10}}$
Теперь воспользуемся свойствами степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$\frac{2^{2 \cdot 8} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^{16} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}}$
Сократим в числителе и знаменателе общий множитель $3^{10}$:
$\frac{2^{16}}{2^{10}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$2^{16-10} = 2^6$
Вычислим полученное значение:
$2^6 = 64$
Ответ: 64

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}$, также разложим составные основания 6 и 9 на простые множители.
Основание 6 это $2 \cdot 3$.
Основание 9 это $3^2$.
Подставим эти разложения в выражение:
$\frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9}$
Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{2 \cdot 9}} = \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$
Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$\frac{2^{6+18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$
Сократим дробь на общий множитель $3^{18}$:
$\frac{2^{24}}{2^{25}}$
Используем правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$2^{24-25} = 2^{-1}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$