Страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

500. Пользуясь графиком функции у = х² на рис. 76 на с. 115, найдите:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1,4; −2,6; 3,1;

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 4; 6;

в) несколько значений х, при которых значения функции меньше 4; больше 4.

а) Для нахождения значения функции $y$ по известному значению аргумента $x$ с помощью графика, необходимо:
1. Найти на оси абсцисс (оси $Ox$) точку, соответствующую заданному значению $x$.
2. Провести из этой точки вертикальную прямую до пересечения с графиком функции (параболой).
3. Из точки пересечения провести горизонтальную прямую до оси ординат (оси $Oy$).
4. Значение на оси ординат, где ее пересекла горизонтальная прямая, и есть искомое значение функции $y$.

Выполним вычисления для заданных значений аргумента:
• При $x = 1,4$, получаем $y = (1,4)^2 = 1,96$.
• При $x = -2,6$, получаем $y = (-2,6)^2 = 6,76$.
• При $x = 3,1$, получаем $y = (3,1)^2 = 9,61$.

При считывании с графика, значения могут быть приблизительными, например, $y \approx 2,0$ для $x=1,4$, $y \approx 6,8$ для $x=-2,6$ и $y \approx 9,6$ для $x=3,1$.
Ответ: при $x = 1,4$ значение функции $y = 1,96$; при $x = -2,6$ значение $y = 6,76$; при $x = 3,1$ значение $y = 9,61$.

б) Для нахождения значений аргумента $x$, которым соответствует заданное значение функции $y$, с помощью графика, необходимо:
1. Найти на оси ординат (оси $Oy$) точку, соответствующую заданному значению $y$.
2. Провести из этой точки горизонтальную прямую до пересечения с графиком функции.
3. Из каждой точки пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс (ось $Ox$).
4. Значения на оси абсцисс, куда опустились перпендикуляры, и есть искомые значения аргумента $x$.

Выполним вычисления для заданных значений функции:
• При $y = 4$, получаем уравнение $x^2 = 4$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
• При $y = 6$, получаем уравнение $x^2 = 6$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} \approx 2,45$, то $x_1 \approx 2,45$ и $x_2 \approx -2,45$. При считывании с графика, мы бы получили значения около $2,4$ и $-2,4$.

Ответ: при $y=4$ значения аргумента $x = 2$ и $x = -2$; при $y=6$ значения аргумента $x \approx 2,45$ и $x \approx -2,45$.

в) Для нахождения значений $x$, при которых значения функции удовлетворяют неравенству, нужно определить, на каких интервалах оси $Ox$ график функции расположен соответственно ниже или выше заданной горизонтальной линии.

Значения функции меньше 4 ($y < 4$):
Нам нужно найти такие $x$, при которых $x^2 < 4$. График функции $y=x^2$ находится ниже прямой $y=4$ между точками пересечения, которые, как мы нашли в пункте б), имеют абсциссы $x=-2$ и $x=2$. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$ из интервала $(-2; 2)$.
Возьмем несколько значений из этого интервала:
• если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$, что меньше 4.
• если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$, что меньше 4.
• если $x = -1,5$, то $y = (-1,5)^2 = 2,25$, что меньше 4.

Значения функции больше 4 ($y > 4$):
Нам нужно найти такие $x$, при которых $x^2 > 4$. График функции $y=x^2$ находится выше прямой $y=4$ левее точки $x=-2$ и правее точки $x=2$. Таким образом, неравенство выполняется при $x < -2$ или $x > 2$.
Возьмем несколько значений из этих интервалов:
• если $x = 3$, то $y = 3^2 = 9$, что больше 4.
• если $x = -2,5$, то $y = (-2,5)^2 = 6,25$, что больше 4.
• если $x = 4$, то $y = 4^2 = 16$, что больше 4.

Ответ: значения функции меньше 4, например, при $x \in \{-1,5; 0; 1\}$; значения функции больше 4, например, при $x \in \{-4; -2,5; 3\}$.

501. Воспользовавшись графиком функции у = х², найдите:

а) значение у, соответствующее х = −2,4; −0,7; 0,7; 2,4;

б) значения х, которым соответствует у = 2; 0,9;

в) несколько значений х, при которых значение функции больше 2; меньше 2.

а) Чтобы найти значение $y$ по известному значению $x$, нужно на оси абсцисс (Ox) найти заданное значение $x$, провести вертикальную линию до пересечения с графиком параболы $y = x^2$, а затем из этой точки провести горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (Oy). Точка пересечения и будет искомым значением $y$. Так как точные значения по графику определить сложно, приведем результаты вычислений, которые на графике будут выглядеть как приблизительные значения.
Если $x = -2,4$, то $y = (-2,4)^2 = 5,76$. С графика мы бы считали значение около $5,8$.
Если $x = -0,7$, то $y = (-0,7)^2 = 0,49$. С графика мы бы считали значение около $0,5$.
Если $x = 0,7$, то $y = (0,7)^2 = 0,49$. Из-за симметрии параболы значение такое же, как и для $x = -0,7$.
Если $x = 2,4$, то $y = (2,4)^2 = 5,76$. Из-за симметрии параболы значение такое же, как и для $x = -2,4$.
Ответ: при $x = -2,4$ $y \approx 5,8$; при $x = -0,7$ $y \approx 0,5$; при $x = 0,7$ $y \approx 0,5$; при $x = 2,4$ $y \approx 5,8$.

б) Чтобы найти значения $x$, которым соответствует заданное значение $y$, нужно на оси ординат (Oy) найти это значение $y$, провести горизонтальную линию до пересечения с параболой. Из точек пересечения (их может быть две, если $y>0$) опустить перпендикуляры на ось абсцисс (Ox). Точки на оси Ox и будут искомыми значениями $x$.
При $y = 2$: решаем уравнение $x^2 = 2$. Получаем два корня $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$. На графике это соответствует значениям $x \approx 1,4$ и $x \approx -1,4$.
При $y = 0,9$: решаем уравнение $x^2 = 0,9$. Получаем два корня $x = \sqrt{0,9}$ и $x = -\sqrt{0,9}$. На графике это соответствует значениям $x \approx 0,95$ и $x \approx -0,95$.
Ответ: при $y = 2$ $x \approx 1,4$ и $x \approx -1,4$; при $y = 0,9$ $x \approx 0,95$ и $x \approx -0,95$.

в) Для нахождения значений $x$, при которых $y$ больше или меньше 2, находим на графике участки параболы, которые лежат выше или ниже горизонтальной линии $y = 2$.
Значение функции больше 2 ($y > 2$): Это участки параболы, лежащие выше прямой $y=2$. Из пункта б) мы знаем, что парабола пересекает эту прямую в точках, где $x = \sqrt{2} \approx 1,4$ и $x = -\sqrt{2} \approx -1,4$. Следовательно, неравенство $y > 2$ выполняется при $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$. В качестве примера можно взять значения $x = -2$ (тогда $y=4>2$), $x=3$ (тогда $y=9>2$).
Значение функции меньше 2 ($y < 2$): Это участок параболы, лежащий ниже прямой $y=2$. Этот участок находится между точками пересечения, то есть при $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$. В качестве примера можно взять значения $x=1$ (тогда $y=1<2$), $x=-1$ (тогда $y=1<2$), $x=0$ (тогда $y=0<2$).
Ответ: значения функции больше 2, например, при $x = -3, x = 2, x = 2,5$; значения функции меньше 2, например, при $x = -1, x = 0, x = 1,3$.

502. Принадлежит ли графику функции у = х² точка:

а) А(6; 36); б) В(−1,5; 2,25); в) С(4; −2); г) D( 1,2; 1,44)?

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = x^2$. Если получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

а) Проверим точку $A(6; 36)$.
Подставляем в уравнение функции $y = x^2$ значения $x = 6$ и $y = 36$.
$36 = 6^2$
$36 = 36$
Получили верное равенство, значит, точка А принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим точку $B(-1,5; 2,25)$.
Подставляем в уравнение функции $y = x^2$ значения $x = -1,5$ и $y = 2,25$.
$2,25 = (-1,5)^2$
$2,25 = 2,25$
Получили верное равенство, значит, точка B принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

в) Проверим точку $C(4; -2)$.
Подставляем в уравнение функции $y = x^2$ значения $x = 4$ и $y = -2$.
$-2 = 4^2$
$-2 = 16$
Получили неверное равенство, так как $-2 \ne 16$. Значит, точка C не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

г) Проверим точку $D(1,2; 1,44)$.
Подставляем в уравнение функции $y = x^2$ значения $x = 1,2$ и $y = 1,44$.
$1,44 = (1,2)^2$
$1,44 = 1,44$
Получили верное равенство, значит, точка D принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

503. Используя график функции у = х³ на рис. 78 на с. 117, найдите:

а) значение у, соответствующее х = 1,4; −1,4; −1,8; 1,8;

б) значение х, которому соответствует у = −4; 4.

а) Чтобы найти значение y, соответствующее заданному значению x, по графику функции $y=x^3$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти заданное значение x на горизонтальной оси (оси абсцисс).

2. Провести из этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком функции.

3. Из точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси ординат).

4. Значение, в котором горизонтальная линия пересекает ось y, является искомым значением функции.

Применим этот метод для заданных значений x (значения, полученные с графика, являются приблизительными):

• Для $x=1,4$: находим на оси x точку 1,4, поднимаемся до графика и движемся влево к оси y. Значение y будет примерно равно 2,7. (Точное значение: $y = (1,4)^3 = 2,744$).

• Для $x=-1,4$: находим на оси x точку -1,4, опускаемся до графика и движемся вправо к оси y. Значение y будет примерно равно -2,7. (Так как функция нечетная, $f(-x) = -f(x)$, точное значение: $y = (-1,4)^3 = -2,744$).

• Для $x=-1,8$: находим на оси x точку -1,8, опускаемся до графика и движемся вправо к оси y. Значение y будет примерно равно -5,8. (Точное значение: $y = (-1,8)^3 = -5,832$).

• Для $x=1,8$: находим на оси x точку 1,8, поднимаемся до графика и движемся влево к оси y. Значение y будет примерно равно 5,8. (Точное значение: $y = (1,8)^3 = 5,832$).

Ответ: при $x=1,4, y \approx 2,7$; при $x=-1,4, y \approx -2,7$; при $x=-1,8, y \approx -5,8$; при $x=1,8, y \approx 5,8$.

б) Чтобы найти значение x, которому соответствует заданное значение y, по графику функции $y=x^3$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти заданное значение y на вертикальной оси (оси ординат).

2. Провести из этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком функции.

3. Из точки пересечения провести вертикальную линию до горизонтальной оси (оси абсцисс).

4. Значение, в котором вертикальная линия пересекает ось x, является искомым значением аргумента.

Применим этот метод для заданных значений y (значения, полученные с графика, являются приблизительными):

• Для $y=-4$: находим на оси y точку -4, движемся горизонтально влево до пересечения с графиком. Из точки пересечения поднимаемся вертикально до оси x. Значение x будет примерно равно -1,6. (Точное значение: $x = \sqrt[3]{-4} \approx -1,587$).

• Для $y=4$: находим на оси y точку 4, движемся горизонтально вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаемся вертикально до оси x. Значение x будет примерно равно 1,6. (Точное значение: $x = \sqrt[3]{4} \approx 1,587$).

Ответ: при $y=-4, x \approx -1,6$; при $y=4, x \approx 1,6$.

504. Пользуясь графиком функции у = х³, найдите:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному −0,7; 1,2;

б) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 3; −3;

в) несколько значений аргумента, при которых значение функции больше −3, но меньше 3.

Чтобы найти значение функции ($y$) по значению аргумента ($x$) с помощью графика $y=x^3$, необходимо на оси абсцисс ($Ox$) найти точку, соответствующую данному значению аргумента, провести из этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат ($Oy$). Полученное значение на оси $Oy$ и будет искомым.

При $x = -0,7$: Двигаясь от точки $-0,7$ на оси $Ox$ вертикально вниз до пересечения с графиком, а затем горизонтально к оси $Oy$, мы найдем соответствующее значение $y$. Точное значение можно найти путем вычисления: $y = (-0,7)^3 = -0,343$.

При $x = 1,2$: Двигаясь от точки $1,2$ на оси $Ox$ вертикально вверх до пересечения с графиком, а затем горизонтально к оси $Oy$, мы найдем соответствующее значение $y$. Точное значение: $y = (1,2)^3 = 1,728$.

Ответ: при $x=-0,7$ значение функции $y=-0,343$; при $x=1,2$ значение функции $y=1,728$.

Чтобы найти значение аргумента ($x$) по значению функции ($y$), необходимо выполнить обратную операцию. На оси ординат ($Oy$) находим данное значение $y$, проводим от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — вертикальную линию до оси абсцисс ($Ox$). Полученная точка на оси $Ox$ и есть искомое значение аргумента.

При $y = 3$: Находим на оси $Oy$ значение $3$. Проводим горизонтальную линию вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось $Ox$. Чтобы найти точное значение $x$, решаем уравнение $x^3=3$. Отсюда $x = \sqrt[3]{3}$. Приблизительное значение, которое можно было бы определить по графику, $x \approx 1,44$.

При $y = -3$: Находим на оси $Oy$ значение $-3$. Проводим горизонтальную линию влево до пересечения с графиком. Из точки пересечения поднимаем перпендикуляр на ось $Ox$. Чтобы найти точное значение $x$, решаем уравнение $x^3=-3$. Отсюда $x = \sqrt[3]{-3} = -\sqrt[3]{3}$. Приблизительное значение $x \approx -1,44$.

Ответ: при $y=3$, $x=\sqrt[3]{3}$; при $y=-3$, $x=-\sqrt[3]{3}$.

Требуется найти значения $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-3 < y < 3$. Подставляя $y=x^3$, получаем $-3 < x^3 < 3$.

На графике это соответствует участку кривой, который заключен между горизонтальными прямыми $y=-3$ и $y=3$. Проекция этого участка на ось абсцисс ($Ox$) и даст искомый диапазон значений для $x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $y=3$ при $x=\sqrt[3]{3}$ и $y=-3$ при $x=-\sqrt[3]{3}$. Так как функция $y=x^3$ является возрастающей, решение неравенства $-3 < x^3 < 3$ представляет собой интервал $-\sqrt[3]{3} < x < \sqrt[3]{3}$.

Приблизительно это интервал $(-1,44; 1,44)$. Любое число из этого интервала является решением. В качестве примера можно привести следующие значения аргумента: $x=-1$, $x=0$, $x=1,2$. Проверим их:

Если $x=-1$, то $y=(-1)^3=-1$. Условие $-3 < -1 < 3$ выполняется.

Если $x=0$, то $y=0^3=0$. Условие $-3 < 0 < 3$ выполняется.

Если $x=1,2$, то $y=(1,2)^3=1,728$. Условие $-3 < 1,728 < 3$ выполняется.

Ответ: например, $x=-1$; $x=0$; $x=1$.

505. Принадлежит ли графику функции у = х³ точка:

а) А(−0,2; −0,008); б) В(112; 338); в) C(−13; 127)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y=x^3$, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство $y_0 = (x_0)^3$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) A(-0,2; -0,008)

Подставим абсциссу (x-координату) точки A, равную $-0,2$, в уравнение функции $y = x^3$:

$y = (-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$.

Вычисленное значение ординаты ($y=-0,008$) совпадает с ординатой (y-координатой) точки A. Следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) B(1$\frac{1}{2}$; 3$\frac{3}{8}$)

Сначала преобразуем смешанное число, задающее абсциссу точки B, в неправильную дробь:

$x = 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь подставим это значение в уравнение функции:

$y = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.

Для сравнения преобразуем в неправильную дробь ординату точки B:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

Вычисленное значение ординаты ($\frac{27}{8}$) совпадает с ординатой точки B. Следовательно, точка B принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

в) C($-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{27}$)

Подставим абсциссу точки C, равную $-\frac{1}{3}$, в уравнение функции:

$y = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$.

Вычисленное значение ординаты ($y = -\frac{1}{27}$) не совпадает с ординатой точки C, равной $\frac{1}{27}$.

$-\frac{1}{27} \neq \frac{1}{27}$.

Следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

506. В одной и той же системе координат постройте графики функций у = х² и у = х³, где х > 0. Пользуясь построенными графиками, сравните:

а) 0,6² и 0,6³; б) 1,5² и 1,5³; в) 2,7² и 2,7³.

Для решения этой задачи необходимо в одной системе координат построить графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при условии $x \ge 0$. Затем, основываясь на взаимном расположении этих графиков, сравнить предложенные числа.

1. Построение графиков

Сначала найдём несколько ключевых точек для каждой функции, чтобы построить их графики.

• Для функции $y=x^2$ (ветвь параболы):
  • если $x=0$, то $y=0$ > точка (0; 0)
  • если $x=0.5$, то $y=0.25$ > точка (0.5; 0.25)
  • если $x=1$, то $y=1$ > точка (1; 1)
  • если $x=2$, то $y=4$ > точка (2; 4)
• Для функции $y=x^3$ (ветвь кубической параболы):
  • если $x=0$, то $y=0$ > точка (0; 0)
  • если $x=0.5$, то $y=0.125$ > точка (0.5; 0.125)
  • если $x=1$, то $y=1$ > точка (1; 1)
  • если $x=2$, то $y=8$ > точка (2; 8)

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавными кривыми, мы получим графики обеих функций.

2. Анализ взаимного расположения графиков

Из построения и решения уравнения $x^2 = x^3$ (которое равносильно $x^2(x-1)=0$) видно, что графики пересекаются в двух точках: (0; 0) и (1; 1).

• На интервале $x \in (0, 1)$ график функции $y=x^2$ расположен выше графика $y=x^3$. Это означает, что для любого числа $a$ из этого интервала выполняется неравенство $a^2 > a^3$.
• На интервале $x \in (1, +\infty)$ график функции $y=x^3$ расположен выше графика $y=x^2$. Это означает, что для любого числа $a$ из этого интервала выполняется неравенство $a^3 > a^2$.

Теперь воспользуемся этими выводами для сравнения.

а) Нужно сравнить $0,6^2$ и $0,6^3$. Это эквивалентно сравнению значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, на этом интервале график $y=x^2$ лежит выше графика $y=x^3$. Следовательно, $0,6^2$ больше, чем $0,6^3$.
Ответ: $0,6^2 > 0,6^3$.

б) Нужно сравнить $1,5^2$ и $1,5^3$. Мы сравниваем значения функций при $x=1,5$. Так как $1,5 > 1$, на этом интервале график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x^2$. Следовательно, $1,5^2$ меньше, чем $1,5^3$.
Ответ: $1,5^2 < 1,5^3$.

в) Нужно сравнить $2,7^2$ и $2,7^3$. Мы сравниваем значения функций при $x=2,7$. Так как $2,7 > 1$, на этом интервале, как и в предыдущем пункте, график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x^2$. Следовательно, $2,7^2$ меньше, чем $2,7^3$.
Ответ: $2,7^2 < 2,7^3$.

507. При каких значениях а точка Р(а; 64) принадлежит графику функции:

a) у = х² б) у = х³?

а) Чтобы точка $P(a; 64)$ принадлежала графику функции $y = x^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки ($x=a$, $y=64$) в уравнение:

$64 = a^2$

Для нахождения $a$ извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня, так как квадрат как положительного, так и отрицательного числа является положительным.

$a = \pm\sqrt{64}$

$a_1 = 8$

$a_2 = -8$

Таким образом, точка $P(a; 64)$ принадлежит графику функции $y = x^2$ при двух значениях $a$.

Ответ: $a = 8$ или $a = -8$.

б) Аналогично, чтобы точка $P(a; 64)$ принадлежала графику функции $y = x^3$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим $x=a$ и $y=64$ в уравнение функции:

$64 = a^3$

Для нахождения $a$ извлечем кубический корень из обеих частей уравнения.

$a = \sqrt[3]{64}$

Поскольку $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то единственным действительным корнем уравнения является 4.

$a = 4$

Таким образом, точка $P(a; 64)$ принадлежит графику функции $y = x^3$ при одном значении $a$.

Ответ: $a = 4$.

508. (Для работы в парах.) Используя график функции у = х², изображённый на рисунке 76, решите уравнение: а) х² = 4; б) х² = −1; в) х² = 5; г) х² = 0.

1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто − задания в), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения х² = а при различных значениях а.

Для решения уравнений вида $x^2 = a$ графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = a$. Корнями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График функции $y = a$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, a)$ на оси ординат (оси $Oy$).

а) $x^2 = 4$

Чтобы решить уравнение $x^2 = 4$, рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4$. Прямая $y=4$ — это горизонтальная линия, проходящая через точку $(0, 4)$. Эта прямая пересекает параболу в двух точках. Чтобы найти их абсциссы, находим на графике $y = x^2$ точки, у которых ордината (координата $y$) равна 4. Таких точек две, их координаты $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Следовательно, абсциссы точек пересечения равны $-2$ и $2$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

б) $x^2 = -1$

Для решения уравнения $x^2 = -1$ ищем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -1$. Прямая $y = -1$ — это горизонтальная линия, проходящая через точку $(0, -1)$, то есть она расположена ниже оси абсцисс. Парабола $y = x^2$ целиком находится в верхней полуплоскости (все её значения $y \ge 0$), её самая нижняя точка — это вершина $(0, 0)$. Таким образом, прямая $y = -1$ и парабола $y = x^2$ не имеют общих точек. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

в) $x^2 = 5$

Решение уравнения $x^2 = 5$ сводится к нахождению абсцисс точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 5$. Прямая $y=5$ — это горизонтальная линия, которая пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. Из уравнения $x^2=5$ следует, что $x = \pm\sqrt{5}$. На графике мы видим, что одна точка пересечения имеет положительную абсциссу (немного больше 2), а другая — отрицательную, равную ей по модулю.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{5}, x_2 = \sqrt{5}$.

г) $x^2 = 0$

Для решения уравнения $x^2 = 0$ находим точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 0$. Прямая $y=0$ — это ось абсцисс ($Ox$). Парабола $y = x^2$ имеет с осью абсцисс только одну общую точку — это её вершина, точка $(0, 0)$. Абсцисса этой точки равна 0. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 0$.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения $x^2=a$ при различных значениях $a$.

Проанализировав решения, можно сделать вывод о количестве корней уравнения $x^2 = a$ в зависимости от значения параметра $a$. Количество корней равно количеству точек пересечения параболы $y=x^2$ и прямой $y=a$.

• Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках. Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.
• Если $a = 0$, прямая $y=a$ (ось $Ox$) касается параболы $y=x^2$ в одной точке — вершине. Уравнение имеет один корень: $x = 0$.
• Если $a < 0$, прямая $y=a$ не имеет общих точек с параболой $y=x^2$. Уравнение не имеет действительных корней.