Номер 504, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Функции у = х^2 и у = х^3 и их графики. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 504, страница 119.

504. Пользуясь графиком функции у = х³, найдите:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному −0,7; 1,2;

б) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 3; −3;

в) несколько значений аргумента, при которых значение функции больше −3, но меньше 3.

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному –0,7; 1,2;

Чтобы найти значение функции ($y$) по значению аргумента ($x$) с помощью графика $y=x^3$, необходимо на оси абсцисс ($Ox$) найти точку, соответствующую данному значению аргумента, провести из этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат ($Oy$). Полученное значение на оси $Oy$ и будет искомым.

При $x = -0,7$: Двигаясь от точки $-0,7$ на оси $Ox$ вертикально вниз до пересечения с графиком, а затем горизонтально к оси $Oy$, мы найдем соответствующее значение $y$. Точное значение можно найти путем вычисления: $y = (-0,7)^3 = -0,343$.

При $x = 1,2$: Двигаясь от точки $1,2$ на оси $Ox$ вертикально вверх до пересечения с графиком, а затем горизонтально к оси $Oy$, мы найдем соответствующее значение $y$. Точное значение: $y = (1,2)^3 = 1,728$.

Ответ: при $x=-0,7$ значение функции $y=-0,343$; при $x=1,2$ значение функции $y=1,728$.

б) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 3; –3;

Чтобы найти значение аргумента ($x$) по значению функции ($y$), необходимо выполнить обратную операцию. На оси ординат ($Oy$) находим данное значение $y$, проводим от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — вертикальную линию до оси абсцисс ($Ox$). Полученная точка на оси $Ox$ и есть искомое значение аргумента.

При $y = 3$: Находим на оси $Oy$ значение $3$. Проводим горизонтальную линию вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось $Ox$. Чтобы найти точное значение $x$, решаем уравнение $x^3=3$. Отсюда $x = \sqrt[3]{3}$. Приблизительное значение, которое можно было бы определить по графику, $x \approx 1,44$.

При $y = -3$: Находим на оси $Oy$ значение $-3$. Проводим горизонтальную линию влево до пересечения с графиком. Из точки пересечения поднимаем перпендикуляр на ось $Ox$. Чтобы найти точное значение $x$, решаем уравнение $x^3=-3$. Отсюда $x = \sqrt[3]{-3} = -\sqrt[3]{3}$. Приблизительное значение $x \approx -1,44$.

Ответ: при $y=3$, $x=\sqrt[3]{3}$; при $y=-3$, $x=-\sqrt[3]{3}$.

в) несколько значений аргумента, при которых значение функции больше –3, но меньше 3.

Требуется найти значения $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-3 < y < 3$. Подставляя $y=x^3$, получаем $-3 < x^3 < 3$.

На графике это соответствует участку кривой, который заключен между горизонтальными прямыми $y=-3$ и $y=3$. Проекция этого участка на ось абсцисс ($Ox$) и даст искомый диапазон значений для $x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $y=3$ при $x=\sqrt[3]{3}$ и $y=-3$ при $x=-\sqrt[3]{3}$. Так как функция $y=x^3$ является возрастающей, решение неравенства $-3 < x^3 < 3$ представляет собой интервал $-\sqrt[3]{3} < x < \sqrt[3]{3}$.

Приблизительно это интервал $(-1,44; 1,44)$. Любое число из этого интервала является решением. В качестве примера можно привести следующие значения аргумента: $x=-1$, $x=0$, $x=1,2$. Проверим их:

Если $x=-1$, то $y=(-1)^3=-1$. Условие $-3 < -1 < 3$ выполняется.

Если $x=0$, то $y=0^3=0$. Условие $-3 < 0 < 3$ выполняется.

Если $x=1,2$, то $y=(1,2)^3=1,728$. Условие $-3 < 1,728 < 3$ выполняется.

Ответ: например, $x=-1$; $x=0$; $x=1$.