Номер 498, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

498. Точка А(а; −3) симметрична точке В(4; b) относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат. Найдите значения а и b.

Для нахождения значений $a$ и $b$ рассмотрим каждый случай симметрии точек $A(a; -3)$ и $B(4; b)$ отдельно.

а) оси абсцисс

Если точки симметричны относительно оси абсцисс (оси $Ox$), их абсциссы равны, а ординаты являются противоположными числами. Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает, что $x_A = x_B$ и $y_A = -y_B$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$. Составим систему уравнений:

$a = 4$
$-3 = -b$

Из первого уравнения сразу получаем $a = 4$. Из второго уравнения, умножив обе части на $-1$, находим $b = 3$.

Ответ: $a = 4, b = 3$.

б) оси ординат

Если точки симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$), их ординаты равны, а абсциссы являются противоположными числами. Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает, что $x_A = -x_B$ и $y_A = y_B$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$. Составим систему уравнений:

$a = -4$
$-3 = b$

В этом случае значения $a$ и $b$ определяются напрямую из уравнений.

Ответ: $a = -4, b = -3$.

в) начала координат

Если точки симметричны относительно начала координат, то обе их соответствующие координаты являются противоположными числами. Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает, что $x_A = -x_B$ и $y_A = -y_B$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$. Составим систему уравнений:

$a = -4$
$-3 = -b$

Из первого уравнения сразу получаем $a = -4$. Из второго уравнения, умножив обе части на $-1$, находим $b = 3$.

Ответ: $a = -4, b = 3$.