Номер 500, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Функции у = х^2 и у = х^3 и их графики. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 500, страница 119.

500. Пользуясь графиком функции у = х² на рис. 76 на с. 115, найдите:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1,4; −2,6; 3,1;

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 4; 6;

в) несколько значений х, при которых значения функции меньше 4; больше 4.

а) Для нахождения значения функции $y$ по известному значению аргумента $x$ с помощью графика, необходимо:
1. Найти на оси абсцисс (оси $Ox$) точку, соответствующую заданному значению $x$.
2. Провести из этой точки вертикальную прямую до пересечения с графиком функции (параболой).
3. Из точки пересечения провести горизонтальную прямую до оси ординат (оси $Oy$).
4. Значение на оси ординат, где ее пересекла горизонтальная прямая, и есть искомое значение функции $y$.

Выполним вычисления для заданных значений аргумента:
• При $x = 1,4$, получаем $y = (1,4)^2 = 1,96$.
• При $x = -2,6$, получаем $y = (-2,6)^2 = 6,76$.
• При $x = 3,1$, получаем $y = (3,1)^2 = 9,61$.

При считывании с графика, значения могут быть приблизительными, например, $y \approx 2,0$ для $x=1,4$, $y \approx 6,8$ для $x=-2,6$ и $y \approx 9,6$ для $x=3,1$.
Ответ: при $x = 1,4$ значение функции $y = 1,96$; при $x = -2,6$ значение $y = 6,76$; при $x = 3,1$ значение $y = 9,61$.

б) Для нахождения значений аргумента $x$, которым соответствует заданное значение функции $y$, с помощью графика, необходимо:
1. Найти на оси ординат (оси $Oy$) точку, соответствующую заданному значению $y$.
2. Провести из этой точки горизонтальную прямую до пересечения с графиком функции.
3. Из каждой точки пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс (ось $Ox$).
4. Значения на оси абсцисс, куда опустились перпендикуляры, и есть искомые значения аргумента $x$.

Выполним вычисления для заданных значений функции:
• При $y = 4$, получаем уравнение $x^2 = 4$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
• При $y = 6$, получаем уравнение $x^2 = 6$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} \approx 2,45$, то $x_1 \approx 2,45$ и $x_2 \approx -2,45$. При считывании с графика, мы бы получили значения около $2,4$ и $-2,4$.

Ответ: при $y=4$ значения аргумента $x = 2$ и $x = -2$; при $y=6$ значения аргумента $x \approx 2,45$ и $x \approx -2,45$.

в) Для нахождения значений $x$, при которых значения функции удовлетворяют неравенству, нужно определить, на каких интервалах оси $Ox$ график функции расположен соответственно ниже или выше заданной горизонтальной линии.

Значения функции меньше 4 ($y < 4$):
Нам нужно найти такие $x$, при которых $x^2 < 4$. График функции $y=x^2$ находится ниже прямой $y=4$ между точками пересечения, которые, как мы нашли в пункте б), имеют абсциссы $x=-2$ и $x=2$. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$ из интервала $(-2; 2)$.
Возьмем несколько значений из этого интервала:
• если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$, что меньше 4.
• если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$, что меньше 4.
• если $x = -1,5$, то $y = (-1,5)^2 = 2,25$, что меньше 4.

Значения функции больше 4 ($y > 4$):
Нам нужно найти такие $x$, при которых $x^2 > 4$. График функции $y=x^2$ находится выше прямой $y=4$ левее точки $x=-2$ и правее точки $x=2$. Таким образом, неравенство выполняется при $x < -2$ или $x > 2$.
Возьмем несколько значений из этих интервалов:
• если $x = 3$, то $y = 3^2 = 9$, что больше 4.
• если $x = -2,5$, то $y = (-2,5)^2 = 6,25$, что больше 4.
• если $x = 4$, то $y = 4^2 = 16$, что больше 4.

Ответ: значения функции меньше 4, например, при $x \in \{-1,5; 0; 1\}$; значения функции больше 4, например, при $x \in \{-4; -2,5; 3\}$.