Номер 493, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

493. Запишите каждый из одночленов:

а) 16х⁶, 49m²n⁴ и m⁸ в виде квадрата одночлена;

б) a⁹, − 8m³ и 1000х³y⁶ в виде куба одночлена.

а)

Чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатели степеней переменных на 2. Это основано на свойстве степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

• Для одночлена $16x^6$:
  Находим число, квадрат которого равен 16. Это 4, так как $4^2 = 16$.
  Находим степень переменной $x$, которая при возведении в квадрат даст $x^6$. Это $x^3$, так как $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
  Таким образом, $16x^6 = (4x^3)^2$.

• Для одночлена $49m^2n^4$:
  Находим число, квадрат которого равен 49. Это 7, так как $7^2 = 49$.
  Для переменной $m$: $(m^1)^2 = m^2$.
  Для переменной $n$: $(n^2)^2 = n^{2 \cdot 2} = n^4$.
  Таким образом, $49m^2n^4 = (7mn^2)^2$.

• Для одночлена $m^8$:
  Коэффициент равен 1, $1^2=1$.
  Для переменной $m$: $(m^4)^2 = m^{4 \cdot 2} = m^8$.
  Таким образом, $m^8 = (m^4)^2$.

Ответ: $16x^6 = (4x^3)^2$; $49m^2n^4 = (7mn^2)^2$; $m^8 = (m^4)^2$.

б)

Чтобы представить одночлен в виде куба другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в куб даст исходный. Для этого необходимо извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатели степеней переменных на 3.

• Для одночлена $a^9$:
  Коэффициент равен 1, $\sqrt[3]{1} = 1$.
  Для переменной $a$: $(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.
  Таким образом, $a^9 = (a^3)^3$.

• Для одночлена $-8m^3$:
  Находим число, куб которого равен -8. Это -2, так как $(-2)^3 = -8$.
  Для переменной $m$: $(m^1)^3 = m^3$.
  Таким образом, $-8m^3 = (-2m)^3$.

• Для одночлена $1000x^3y^6$:
  Находим число, куб которого равен 1000. Это 10, так как $10^3 = 1000$.
  Для переменной $x$: $(x^1)^3 = x^3$.
  Для переменной $y$: $(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$.
  Таким образом, $1000x^3y^6 = (10xy^2)^3$.

Ответ: $a^9 = (a^3)^3$; $-8m^3 = (-2m)^3$; $1000x^3y^6 = (10xy^2)^3$.