Номер 495, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

495. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида:

а) $25a^4 \cdot (3a^3)^2$
Чтобы представить выражение в виде одночлена стандартного вида, сначала упростим второй множитель $(3a^3)^2$, возведя его в квадрат. По свойству возведения произведения в степень $(xy)^n=x^ny^n$ и возведения степени в степень $(x^m)^n=x^{mn}$ имеем:
$(3a^3)^2 = 3^2 \cdot (a^3)^2 = 9 \cdot a^{3 \cdot 2} = 9a^6$.
Теперь исходное выражение выглядит как $25a^4 \cdot 9a^6$.
Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием:
$25 \cdot 9 = 225$.
$a^4 \cdot a^6 = a^{4+6} = a^{10}$.
В результате получаем одночлен стандартного вида.
Ответ: $225a^{10}$

б) $(-3b^6)^4 \cdot b$
Сначала возведем первый множитель в четвертую степень. Так как степень четная, отрицательное основание $(-3)$ станет положительным:
$(-3b^6)^4 = (-3)^4 \cdot (b^6)^4 = 81 \cdot b^{6 \cdot 4} = 81b^{24}$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель $b$, который можно представить как $b^1$:
$81b^{24} \cdot b^1 = 81b^{24+1} = 81b^{25}$.
Ответ: $81b^{25}$

в) $8p^{15} \cdot (-p)^4$
Упростим второй множитель. Возведение отрицательной переменной $(-p)$ в четную степень (4) дает положительный результат:
$(-p)^4 = p^4$.
Теперь перемножим одночлены:
$8p^{15} \cdot p^4 = 8p^{15+4} = 8p^{19}$.
Ответ: $8p^{19}$

г) $(-c^2)^3 \cdot 0,15c^4$
Упростим первый множитель. Возведение в нечетную степень (3) сохраняет знак основания:
$(-c^2)^3 = -(c^2)^3 = -c^{2 \cdot 3} = -c^6$.
Теперь выполним умножение:
$(-c^6) \cdot 0,15c^4 = -1 \cdot 0,15 \cdot c^6 \cdot c^4 = -0,15c^{6+4} = -0,15c^{10}$.
Ответ: $-0,15c^{10}$

д) $(-10c^2)^4 \cdot 0,0001c^{11}$
Возведем в степень первый множитель. Степень четная, поэтому результат будет положительным:
$(-10c^2)^4 = (-10)^4 \cdot (c^2)^4 = 10000 \cdot c^{2 \cdot 4} = 10000c^8$.
Теперь выполним умножение:
$10000c^8 \cdot 0,0001c^{11} = (10000 \cdot 0,0001) \cdot (c^8 \cdot c^{11}) = 1 \cdot c^{8+11} = c^{19}$.
Ответ: $c^{19}$

е) $(-3b^5)^2 \cdot \frac{2}{9}b^3$
Возведем в квадрат первый множитель. Степень четная, поэтому результат будет положительным:
$(-3b^5)^2 = (-3)^2 \cdot (b^5)^2 = 9 \cdot b^{5 \cdot 2} = 9b^{10}$.
Теперь выполним умножение, перемножая коэффициенты и переменные отдельно:
$9b^{10} \cdot \frac{2}{9}b^3 = (9 \cdot \frac{2}{9}) \cdot (b^{10} \cdot b^3) = 2 \cdot b^{10+3} = 2b^{13}$.
Ответ: $2b^{13}$

ж) $(-2x^3)^2 \cdot (-\frac{1}{4}x^4)$
Сначала возведем в квадрат первый множитель:
$(-2x^3)^2 = (-2)^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^{3 \cdot 2} = 4x^6$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель:
$4x^6 \cdot (-\frac{1}{4}x^4) = (4 \cdot (-\frac{1}{4})) \cdot (x^6 \cdot x^4) = -1 \cdot x^{6+4} = -x^{10}$.
Ответ: $-x^{10}$

з) $(-\frac{1}{2}y^4)^3 \cdot (-16y^2)$
Возведем в куб первый множитель. Степень нечетная, поэтому знак сохранится:
$(-\frac{1}{2}y^4)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot (y^4)^3 = -\frac{1}{8} \cdot y^{4 \cdot 3} = -\frac{1}{8}y^{12}$.
Теперь умножим два отрицательных одночлена. Результат будет положительным:
$(-\frac{1}{8}y^{12}) \cdot (-16y^2) = (-\frac{1}{8} \cdot -16) \cdot (y^{12} \cdot y^2) = \frac{16}{8} \cdot y^{12+2} = 2y^{14}$.
Ответ: $2y^{14}$