Номер 494, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 494, страница 114.

494. Какой одночлен надо возвести в квадрат (в куб), чтобы получить одночлен:

а) х⁶y¹²; б) 1 000 000 m¹⁸?

Чтобы найти исходный одночлен, который нужно возвести в степень $n$ для получения заданного одночлена, необходимо выполнить обратную операцию — извлечь корень степени $n$ из этого одночлена. Это означает, что нужно извлечь корень степени $n$ из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на $n$.

а) Дан одночлен $x^6y^{12}$.

Чтобы получить его возведением в квадрат, найдем одночлен $A$, для которого $A^2 = x^6y^{12}$. Для этого извлечем квадратный корень:

$A = \sqrt{x^6y^{12}} = \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^{12}} = x^{6/2}y^{12/2} = x^3y^6$.

Поскольку квадрат отрицательного числа также положителен, то есть $(-a)^2 = a^2$, то одночлен $-x^3y^6$ также является решением: $(-x^3y^6)^2 = x^6y^{12}$.

Чтобы получить заданный одночлен возведением в куб, найдем одночлен $B$, для которого $B^3 = x^6y^{12}$. Для этого извлечем кубический корень:

$B = \sqrt[3]{x^6y^{12}} = \sqrt[3]{x^6} \cdot \sqrt[3]{y^{12}} = x^{6/3}y^{12/3} = x^2y^4$.

Ответ: для получения $x^6y^{12}$ нужно возвести в квадрат одночлен $x^3y^6$ (или $-x^3y^6$), а в куб — одночлен $x^2y^4$.

б) Дан одночлен $1\,000\,000m^{18}$.

Чтобы получить его возведением в квадрат, найдем одночлен $C$, для которого $C^2 = 1\,000\,000m^{18}$. Извлечем квадратный корень:

$C = \sqrt{1\,000\,000m^{18}} = \sqrt{1\,000\,000} \cdot \sqrt{m^{18}} = 1000 \cdot m^{18/2} = 1000m^9$.

Также подходит одночлен $-1000m^9$, так как $(-1000m^9)^2 = 1\,000\,000m^{18}$.

Чтобы получить заданный одночлен возведением в куб, найдем одночлен $D$, для которого $D^3 = 1\,000\,000m^{18}$. Извлечем кубический корень:

$D = \sqrt[3]{1\,000\,000m^{18}} = \sqrt[3]{1\,000\,000} \cdot \sqrt[3]{m^{18}} = 100 \cdot m^{18/3} = 100m^6$.

Ответ: для получения $1\,000\,000m^{18}$ нужно возвести в квадрат одночлен $1000m^9$ (или $-1000m^9$), а в куб — одночлен $100m^6$.