Номер 490, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 490, страница 113.

490. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) 81х⁴; б) 121a⁶; в) 0,09y¹²; г) 49b⁶.

а) Чтобы представить выражение $81x^4$ в виде квадрата одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого извлечем квадратный корень из числового коэффициента и поделим показатель степени переменной на 2.
Коэффициент 81 является квадратом числа 9, так как $9^2 = 81$.
Показатель степени переменной $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$, так как при возведении степени в степень показатели перемножаются: $x^{2 \cdot 2} = x^4$.
Таким образом, получаем: $81x^4 = 9^2 \cdot (x^2)^2 = (9x^2)^2$.
Ответ: $(9x^2)^2$.

б) Аналогично представим выражение $121a^6$ в виде квадрата.
Найдем квадратный корень из коэффициента 121: $\sqrt{121} = 11$.
Поделим показатель степени переменной $a$ на 2: $6 \div 2 = 3$.
Следовательно, $a^6 = (a^3)^2$.
Собирая все вместе, получаем: $121a^6 = 11^2 \cdot (a^3)^2 = (11a^3)^2$.
Ответ: $(11a^3)^2$.

в) Представим в виде квадрата выражение $0,09y^{12}$.
Коэффициент 0,09 является квадратом числа 0,3, так как $0,3^2 = 0,09$.
Показатель степени переменной $y$ разделим на 2: $12 \div 2 = 6$.
Значит, $y^{12} = (y^6)^2$.
Таким образом, $0,09y^{12} = (0,3)^2 \cdot (y^6)^2 = (0,3y^6)^2$.
Ответ: $(0,3y^6)^2$.

г) Представим выражение $\frac{4}{9}b^6$ в виде квадрата.
Найдем квадратный корень из дробного коэффициента $\frac{4}{9}$. Для этого извлечем корень из числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
Показатель степени переменной $b$ разделим на 2: $6 \div 2 = 3$.
Следовательно, $b^6 = (b^3)^2$.
Объединяя, получаем: $\frac{4}{9}b^6 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot (b^3)^2 = \left(\frac{2}{3}b^3\right)^2$.
Ответ: $\left(\frac{2}{3}b^3\right)^2$.