Страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

494. Какой одночлен надо возвести в квадрат (в куб), чтобы получить одночлен:

а) х⁶y¹²; б) 1 000 000 m¹⁸?

Чтобы найти исходный одночлен, который нужно возвести в степень $n$ для получения заданного одночлена, необходимо выполнить обратную операцию — извлечь корень степени $n$ из этого одночлена. Это означает, что нужно извлечь корень степени $n$ из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на $n$.

а) Дан одночлен $x^6y^{12}$.

Чтобы получить его возведением в квадрат, найдем одночлен $A$, для которого $A^2 = x^6y^{12}$. Для этого извлечем квадратный корень:

$A = \sqrt{x^6y^{12}} = \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^{12}} = x^{6/2}y^{12/2} = x^3y^6$.

Поскольку квадрат отрицательного числа также положителен, то есть $(-a)^2 = a^2$, то одночлен $-x^3y^6$ также является решением: $(-x^3y^6)^2 = x^6y^{12}$.

Чтобы получить заданный одночлен возведением в куб, найдем одночлен $B$, для которого $B^3 = x^6y^{12}$. Для этого извлечем кубический корень:

$B = \sqrt[3]{x^6y^{12}} = \sqrt[3]{x^6} \cdot \sqrt[3]{y^{12}} = x^{6/3}y^{12/3} = x^2y^4$.

Ответ: для получения $x^6y^{12}$ нужно возвести в квадрат одночлен $x^3y^6$ (или $-x^3y^6$), а в куб — одночлен $x^2y^4$.

б) Дан одночлен $1\,000\,000m^{18}$.

Чтобы получить его возведением в квадрат, найдем одночлен $C$, для которого $C^2 = 1\,000\,000m^{18}$. Извлечем квадратный корень:

$C = \sqrt{1\,000\,000m^{18}} = \sqrt{1\,000\,000} \cdot \sqrt{m^{18}} = 1000 \cdot m^{18/2} = 1000m^9$.

Также подходит одночлен $-1000m^9$, так как $(-1000m^9)^2 = 1\,000\,000m^{18}$.

Чтобы получить заданный одночлен возведением в куб, найдем одночлен $D$, для которого $D^3 = 1\,000\,000m^{18}$. Извлечем кубический корень:

$D = \sqrt[3]{1\,000\,000m^{18}} = \sqrt[3]{1\,000\,000} \cdot \sqrt[3]{m^{18}} = 100 \cdot m^{18/3} = 100m^6$.

Ответ: для получения $1\,000\,000m^{18}$ нужно возвести в квадрат одночлен $1000m^9$ (или $-1000m^9$), а в куб — одночлен $100m^6$.

495. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида:

а) $25a^4 \cdot (3a^3)^2$
Чтобы представить выражение в виде одночлена стандартного вида, сначала упростим второй множитель $(3a^3)^2$, возведя его в квадрат. По свойству возведения произведения в степень $(xy)^n=x^ny^n$ и возведения степени в степень $(x^m)^n=x^{mn}$ имеем:
$(3a^3)^2 = 3^2 \cdot (a^3)^2 = 9 \cdot a^{3 \cdot 2} = 9a^6$.
Теперь исходное выражение выглядит как $25a^4 \cdot 9a^6$.
Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием:
$25 \cdot 9 = 225$.
$a^4 \cdot a^6 = a^{4+6} = a^{10}$.
В результате получаем одночлен стандартного вида.
Ответ: $225a^{10}$

б) $(-3b^6)^4 \cdot b$
Сначала возведем первый множитель в четвертую степень. Так как степень четная, отрицательное основание $(-3)$ станет положительным:
$(-3b^6)^4 = (-3)^4 \cdot (b^6)^4 = 81 \cdot b^{6 \cdot 4} = 81b^{24}$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель $b$, который можно представить как $b^1$:
$81b^{24} \cdot b^1 = 81b^{24+1} = 81b^{25}$.
Ответ: $81b^{25}$

в) $8p^{15} \cdot (-p)^4$
Упростим второй множитель. Возведение отрицательной переменной $(-p)$ в четную степень (4) дает положительный результат:
$(-p)^4 = p^4$.
Теперь перемножим одночлены:
$8p^{15} \cdot p^4 = 8p^{15+4} = 8p^{19}$.
Ответ: $8p^{19}$

г) $(-c^2)^3 \cdot 0,15c^4$
Упростим первый множитель. Возведение в нечетную степень (3) сохраняет знак основания:
$(-c^2)^3 = -(c^2)^3 = -c^{2 \cdot 3} = -c^6$.
Теперь выполним умножение:
$(-c^6) \cdot 0,15c^4 = -1 \cdot 0,15 \cdot c^6 \cdot c^4 = -0,15c^{6+4} = -0,15c^{10}$.
Ответ: $-0,15c^{10}$

д) $(-10c^2)^4 \cdot 0,0001c^{11}$
Возведем в степень первый множитель. Степень четная, поэтому результат будет положительным:
$(-10c^2)^4 = (-10)^4 \cdot (c^2)^4 = 10000 \cdot c^{2 \cdot 4} = 10000c^8$.
Теперь выполним умножение:
$10000c^8 \cdot 0,0001c^{11} = (10000 \cdot 0,0001) \cdot (c^8 \cdot c^{11}) = 1 \cdot c^{8+11} = c^{19}$.
Ответ: $c^{19}$

е) $(-3b^5)^2 \cdot \frac{2}{9}b^3$
Возведем в квадрат первый множитель. Степень четная, поэтому результат будет положительным:
$(-3b^5)^2 = (-3)^2 \cdot (b^5)^2 = 9 \cdot b^{5 \cdot 2} = 9b^{10}$.
Теперь выполним умножение, перемножая коэффициенты и переменные отдельно:
$9b^{10} \cdot \frac{2}{9}b^3 = (9 \cdot \frac{2}{9}) \cdot (b^{10} \cdot b^3) = 2 \cdot b^{10+3} = 2b^{13}$.
Ответ: $2b^{13}$

ж) $(-2x^3)^2 \cdot (-\frac{1}{4}x^4)$
Сначала возведем в квадрат первый множитель:
$(-2x^3)^2 = (-2)^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^{3 \cdot 2} = 4x^6$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель:
$4x^6 \cdot (-\frac{1}{4}x^4) = (4 \cdot (-\frac{1}{4})) \cdot (x^6 \cdot x^4) = -1 \cdot x^{6+4} = -x^{10}$.
Ответ: $-x^{10}$

з) $(-\frac{1}{2}y^4)^3 \cdot (-16y^2)$
Возведем в куб первый множитель. Степень нечетная, поэтому знак сохранится:
$(-\frac{1}{2}y^4)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot (y^4)^3 = -\frac{1}{8} \cdot y^{4 \cdot 3} = -\frac{1}{8}y^{12}$.
Теперь умножим два отрицательных одночлена. Результат будет положительным:
$(-\frac{1}{8}y^{12}) \cdot (-16y^2) = (-\frac{1}{8} \cdot -16) \cdot (y^{12} \cdot y^2) = \frac{16}{8} \cdot y^{12+2} = 2y^{14}$.
Ответ: $2y^{14}$

496. На одном складе было 185 т угля, а на другом − 237 т. Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй − по 18 т. Через сколько дней на втором складе угля будет в полтора раза больше, чем на первом?

Пусть $x$ — искомое количество дней.

Через $x$ дней на первом складе, где первоначально было 185 т угля и ежедневно отпускалось по 15 т, останется:
$185 - 15x$ тонн угля.

На втором складе, где первоначально было 237 т угля и ежедневно отпускалось по 18 т, через $x$ дней останется:
$237 - 18x$ тонн угля.

По условию задачи, через $x$ дней количество угля на втором складе должно быть в полтора (1,5) раза больше, чем на первом. На основе этого составим уравнение:

$237 - 18x = 1.5 \cdot (185 - 15x)$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$237 - 18x = 1.5 \cdot 185 - 1.5 \cdot 15x$

$237 - 18x = 277.5 - 22.5x$

Теперь перенесем все члены, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный:

$22.5x - 18x = 277.5 - 237$

Упростим обе части уравнения:

$4.5x = 40.5$

Чтобы найти $x$, разделим правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{40.5}{4.5}$

$x = 9$

Проверим найденное решение. Через 9 дней:

На первом складе останется: $185 - 15 \cdot 9 = 185 - 135 = 50$ т.

На втором складе останется: $237 - 18 \cdot 9 = 237 - 162 = 75$ т.

Найдем соотношение количества угля на втором складе к количеству на первом:

$\frac{75}{50} = 1.5$

Соотношение верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: через 9 дней на втором складе угля будет в полтора раза больше, чем на первом.

497. Прямая, являющаяся графиком функции, заданной формулой у = kx + b, пересекает оси координат в точках A(0; 6) и В(−4; 0). Найдите k и b.

Уравнение прямой задано формулой $y = kx + b$. Нам известно, что график этой функции проходит через две точки: A(0; 6) и B(-4; 0). Поскольку точки лежат на прямой, их координаты должны удовлетворять уравнению прямой.

Воспользуемся координатами точки A(0; 6), которая является точкой пересечения прямой с осью ординат (OY). Подставим $x = 0$ и $y = 6$ в уравнение $y = kx + b$:

$6 = k \cdot 0 + b$

$6 = 0 + b$

Отсюда сразу находим, что $b = 6$. Коэффициент $b$ в уравнении линейной функции всегда равен ординате точки пересечения её графика с осью OY.

Теперь, зная значение $b$, воспользуемся координатами точки B(-4; 0), которая является точкой пересечения прямой с осью абсцисс (OX). Подставим $x = -4$, $y = 0$ и $b = 6$ в уравнение прямой:

$0 = k \cdot (-4) + 6$

$0 = -4k + 6$

Решим полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $k$:

$4k = 6$

$k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.

Ответ: $k = 1.5$, $b = 6$.

498. Точка А(а; −3) симметрична точке В(4; b) относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат. Найдите значения а и b.

Для нахождения значений $a$ и $b$ рассмотрим каждый случай симметрии точек $A(a; -3)$ и $B(4; b)$ отдельно.

а) оси абсцисс

Если точки симметричны относительно оси абсцисс (оси $Ox$), их абсциссы равны, а ординаты являются противоположными числами. Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает, что $x_A = x_B$ и $y_A = -y_B$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$. Составим систему уравнений:

$a = 4$
$-3 = -b$

Из первого уравнения сразу получаем $a = 4$. Из второго уравнения, умножив обе части на $-1$, находим $b = 3$.

Ответ: $a = 4, b = 3$.

б) оси ординат

Если точки симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$), их ординаты равны, а абсциссы являются противоположными числами. Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает, что $x_A = -x_B$ и $y_A = y_B$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$. Составим систему уравнений:

$a = -4$
$-3 = b$

В этом случае значения $a$ и $b$ определяются напрямую из уравнений.

Ответ: $a = -4, b = -3$.

в) начала координат

Если точки симметричны относительно начала координат, то обе их соответствующие координаты являются противоположными числами. Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает, что $x_A = -x_B$ и $y_A = -y_B$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$. Составим систему уравнений:

$a = -4$
$-3 = -b$

Из первого уравнения сразу получаем $a = -4$. Из второго уравнения, умножив обе части на $-1$, находим $b = 3$.

Ответ: $a = -4, b = 3$.