Страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Степенью числа с натуральным показателем называют следующее.

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим единицы, называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Степень с основанием $a$ и показателем $n$ обозначают как $a^n$.

Запись в виде формулы:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$, где $n$ — натуральное число и $n > 1$.

В этом выражении число $a$ — это основание степени, а число $n$ — это показатель степени. Показатель показывает, сколько раз основание необходимо умножить само на себя.

По определению, степенью числа с показателем 1 является само это число: $a^1 = a$.

Примеры:

• Рассмотрим степень $2^5$ (читается «два в пятой степени»).
  Здесь основание степени равно 2, а показатель степени равен 5.
  Значение степени вычисляется так: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
• Рассмотрим степень $(-3)^4$ (читается «минус три в четвертой степени»).
  Здесь основание степени равно -3, а показатель степени равен 4.
  Значение степени вычисляется так: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81$.
• Рассмотрим степень $(\frac{1}{4})^3$ (читается «одна четвертая в третьей степени» или «одна четвертая в кубе»).
  Здесь основание степени равно $\frac{1}{4}$, а показатель степени равен 3.
  Значение степени вычисляется так: $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$.

Ответ: Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n > 1$ называют произведение $n$ множителей, равных $a$. Если $n=1$, то $a^1 = a$. Число $a$ — это основание степени, а число $n$ — показатель степени. В примере $2^5=32$ основание равно 2, а показатель равен 5.

Формулировка

Основное свойство степени, также известное как правило умножения степеней с одинаковым основанием, формулируется следующим образом: при умножении степеней с одинаковым основанием, само основание оставляют без изменений, а показатели степеней складывают.

Для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо следующее равенство:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Доказательство

Доказательство данного свойства основывается на определении степени с натуральным показателем. Степенью числа $a$ с натуральным показателем $k$ (где $k > 1$) называется произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $a$. То есть, $a^k = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{k \text{ множителей}}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $a^m \cdot a^n$.

Исходя из определения степени, мы можем расписать каждый множитель:

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}$

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Теперь перемножим эти два выражения:

$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}})$

Если мы раскроем скобки, то получим произведение, в котором множитель $a$ повторяется $m + n$ раз:

$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ множителей}}$

По определению степени с натуральным показателем, полученное произведение равно $a^{m+n}$.

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства ($a^m \cdot a^n$) равна его правой части ($a^{m+n}$). Свойство доказано.

Ответ: Основное свойство степени утверждает, что для любого числа $a$ и любых натуральных показателей $m$ и $n$ верно равенство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Доказательство этого свойства следует из определения степени: произведение $m$ множителей, равных $a$, и $n$ множителей, равных $a$, представляет собой произведение $m+n$ множителей, равных $a$, что по определению и есть $a^{m+n}$.

Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить без изменения, а показатели степеней сложить.
Это свойство можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, где $a$ — это основание степени, а $m$ и $n$ — ее показатели.

Ответ: При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Представьте в виде степени произведение 12 · 12? · 12?.

Чтобы представить данное произведение в виде степени, воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями.
Во-первых, представим множитель 12 в виде степени. Любое число можно считать возведенным в первую степень, то есть $12 = 12^1$.
Теперь запишем исходное выражение, используя это представление:
$12 \cdot 12^3 \cdot 12^6 = 12^1 \cdot 12^3 \cdot 12^6$
Теперь, согласно правилу, мы должны сложить показатели степеней (1, 3 и 6), оставив основание 12 неизменным:
$12^{1+3+6} = 12^{10}$
Таким образом, произведение $12 \cdot 12^3 \cdot 12^6$ равно $12^{10}$.

Ответ: $12^{10}$.

Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.
Это правило можно записать в виде формулы:
$a^m : a^n = a^{m-n}$
(где $a \ne 0$, $m$ и $n$ — произвольные числа).

Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Представьте в виде степени частное $5,7^6 : 5,7^3$

Для решения данной задачи применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
В выражении $5,7^6 : 5,7^3$ основание степени равно $5,7$. Оставим его без изменений.
Показатели степеней равны $6$ и $3$. Вычтем из показателя степени делимого ($6$) показатель степени делителя ($3$):
$6 - 3 = 3$
Таким образом, результатом деления будет степень с основанием $5,7$ и показателем $3$.
$5,7^6 : 5,7^3 = 5,7^{6-3} = 5,7^3$

Ответ: $5,7^3$

Степенью числа a с нулевым показателем, где a не равно нулю, называется число 1.

Это определение можно записать в виде формулы:
$a^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).

Данное правило является логическим следствием и необходимым условием для сохранения свойств степеней. Рассмотрим, например, свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Если мы возьмем случай, когда показатели степени равны, то есть $m = n$, то получим:
С одной стороны, частное от деления любого ненулевого числа на само себя равно единице: $a^n : a^n = 1$.
С другой стороны, применив свойство степеней, получим: $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$.
Чтобы эти два равенства не противоречили друг другу, необходимо принять, что $a^0 = 1$.

Важное замечание: выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в элементарной алгебре считается неопределенным. Это связано с тем, что оно приводит к противоречию между двумя правилами: правилом $a^0 = 1$ (которое предполагает результат 1) и правилом $0^k = 0$ для $k > 0$ (которое предполагает результат 0). Поэтому данное выражение оставляют без определенного значения.

Ответ: Степенью любого отличного от нуля числа с нулевым показателем является единица. Формула: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.

Правило возведения в степень произведения: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить. Формула этого правила: $(ab)^n = a^n b^n$.

Правило возведения в степень степени: чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить. Формула этого правила: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Представим выражения в виде степени:

(5ab)?: согласно правилу возведения произведения в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень.
$(5ab)^4 = 5^4 \cdot a^4 \cdot b^4$
Вычислим $5^4$: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Таким образом, получаем $625a^4b^4$.

Ответ: $625a^4b^4$

(a?)?: по правилу возведения степени в степень, мы оставляем основание $a$ неизменным, а показатели $3$ и $6$ перемножаем.
$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$

Ответ: $a^{18}$

y? ? (y?)?: сначала упростим второй множитель $(y^2)^6$, применив правило возведения степени в степень.
$(y^2)^6 = y^{2 \cdot 6} = y^{12}$
Теперь выражение имеет вид: $y^4 \cdot y^{12}$.
Далее, по правилу умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), складываем показатели степеней.
$y^4 \cdot y^{12} = y^{4+12} = y^{16}$

Ответ: $y^{16}$