Номер 2, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Формулировка

Основное свойство степени, также известное как правило умножения степеней с одинаковым основанием, формулируется следующим образом: при умножении степеней с одинаковым основанием, само основание оставляют без изменений, а показатели степеней складывают.

Для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо следующее равенство:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Доказательство

Доказательство данного свойства основывается на определении степени с натуральным показателем. Степенью числа $a$ с натуральным показателем $k$ (где $k > 1$) называется произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $a$. То есть, $a^k = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{k \text{ множителей}}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $a^m \cdot a^n$.

Исходя из определения степени, мы можем расписать каждый множитель:

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}$

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Теперь перемножим эти два выражения:

$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}})$

Если мы раскроем скобки, то получим произведение, в котором множитель $a$ повторяется $m + n$ раз:

$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ множителей}}$

По определению степени с натуральным показателем, полученное произведение равно $a^{m+n}$.

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства ($a^m \cdot a^n$) равна его правой части ($a^{m+n}$). Свойство доказано.

Ответ: Основное свойство степени утверждает, что для любого числа $a$ и любых натуральных показателей $m$ и $n$ верно равенство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Доказательство этого свойства следует из определения степени: произведение $m$ множителей, равных $a$, и $n$ множителей, равных $a$, представляет собой произведение $m+n$ множителей, равных $a$, что по определению и есть $a^{m+n}$.