Номер 465, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 465, страница 109.

465. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) \frac{2^5 · {\left(2^3\right)}^4}{2^{13}};$ $\mathrm{б}) \frac{{\left(5^8\right)}^2 · 5^7}{5^{22}};$ $\mathrm{в}) \frac{{\left(2^5\right)}^2}{2^6 · 4};$ $\mathrm{г}) \frac{3^7 · 27}{{\left(3^4\right)}^3};$ $\mathrm{д}) \frac{{\left(5^2\right)}^4 · 25}{5^9};$ $\mathrm{е}) \frac{{\left(7^3\right)}^3 · 7^2}{{\left(7^5\right)}^2};$ $\mathrm{ж}) \frac{3^{11} · 27}{{\left(3^4\right)}^3 · 9};$ $\mathrm{з}) \frac{{\left({11}^2\right)}^3}{{11}^2 · {11}^3}.$

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.
2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{2^5 \cdot 2^{12}}{2^{13}}$.
3. Умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^5 \cdot 2^{12} = 2^{5+12} = 2^{17}$.
4. Теперь разделим степени с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4$.
5. Вычисляем результат:
$2^4 = 16$.
Ответ: 16.

б)

Найдем значение выражения $\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}$.
1. Возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^8)^2 = 5^{8 \cdot 2} = 5^{16}$.
2. Подставим значение в выражение:
$\frac{5^{16} \cdot 5^7}{5^{22}}$.
3. Умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23}$.
4. Деление степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^{23}}{5^{22}} = 5^{23-22} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5.

в)

Найдем значение выражения $\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}$.
1. Упростим числитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}$.
2. Представим число 4 в знаменателе как степень двойки: $4 = 2^2$.
3. Упростим знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^6 \cdot 2^2 = 2^{6+2} = 2^8$.
4. Выражение примет вид: $\frac{2^{10}}{2^8}$.
5. Выполним деление степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{10-8} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4.

г)

Найдем значение выражения $\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}$.
1. Представим число 27 в числителе как степень тройки: $27 = 3^3$.
2. Упростим знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.
3. Упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^7 \cdot 3^3 = 3^{7+3} = 3^{10}$.
4. Выражение примет вид: $\frac{3^{10}}{3^{12}}$.
5. Выполним деление степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{10-12} = 3^{-2}$.
6. Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

д)

Найдем значение выражения $\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}$.
1. Упростим числитель: $(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.
2. Представим 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.
3. Выражение примет вид: $\frac{5^8 \cdot 5^2}{5^9}$.
4. Умножим степени в числителе: $5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}$.
5. Выполним деление: $\frac{5^{10}}{5^9} = 5^{10-9} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5.

е)

Найдем значение выражения $\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}$.
1. Упростим числитель: $(7^3)^3 = 7^{3 \cdot 3} = 7^9$. Числитель становится $7^9 \cdot 7^2 = 7^{9+2} = 7^{11}$.
2. Упростим знаменатель: $(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$.
3. Выражение примет вид: $\frac{7^{11}}{7^{10}}$.
4. Выполним деление: $7^{11-10} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7.

ж)

Найдем значение выражения $\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}$.
1. Представим числа 27 и 9 как степени тройки: $27 = 3^3$, $9 = 3^2$.
2. Упростим знаменатель: $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.
3. Выражение примет вид: $\frac{3^{11} \cdot 3^3}{3^{12} \cdot 3^2}$.
4. Упростим числитель и знаменатель по отдельности: Числитель: $3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14}$.
Знаменатель: $3^{12} \cdot 3^2 = 3^{12+2} = 3^{14}$.
5. Получим дробь: $\frac{3^{14}}{3^{14}} = 1$.
Ответ: 1.

з)

Найдем значение выражения $\frac{(11^3)^3}{11^2 \cdot 11^3}$.
1. Упростим числитель: $(11^3)^3 = 11^{3 \cdot 3} = 11^9$.
2. Упростим знаменатель: $11^2 \cdot 11^3 = 11^{2+3} = 11^5$.
3. Выражение примет вид: $\frac{11^9}{11^5}$.
4. Выполним деление: $11^{9-5} = 11^4$.
5. Вычислим значение: $11^4 = 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 = 121 \cdot 121 = 14641$.
Ответ: 14641.