Номер 467, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Параграф 6. Степень и её свойства. 20. Возведение в степень произведения и степени - номер 467, страница 109.

Условие.

467. Какой цифрой может оканчиваться:

а) квадрат натурального числа;

б) четвёртая степень натурального числа?

Решение 1.

а) 0² = 0; 1² = 1; 2² = 4;
3² = 9; 4² = 16; 5² = 25;
6² = 36; 7² = 49; 8² = 64;
9² = 81.

Ответ: 0; 1; 4; 6; 5; 9.

б) 0⁴ = 0; 1⁴ = 1; 2⁴ = 16;
3⁴ = 81; 4⁴ = 256; 5⁴ = 625;
6⁴ = 1296; 7⁴ = 2401;
8⁴ = ...6; 9⁴ = ...1 или

0² = 0; 1² = 1; 4² = 16;
6² = 36; 5² = 25; 9² = 81.

Ответ: 0; 1; 5; 6.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) квадрат натурального числа;

Последняя цифра квадрата натурального числа $n^2$ зависит только от последней цифры самого числа $n$. Чтобы найти все возможные последние цифры для квадрата, достаточно проверить все цифры от 0 до 9.

Вычислим последнюю цифру для квадрата каждой из возможных последних цифр натурального числа:
Если число оканчивается на 0, его квадрат оканчивается на 0 ($0^2 = 0$).
Если число оканчивается на 1, его квадрат оканчивается на 1 ($1^2 = 1$).
Если число оканчивается на 2, его квадрат оканчивается на 4 ($2^2 = 4$).
Если число оканчивается на 3, его квадрат оканчивается на 9 ($3^2 = 9$).
Если число оканчивается на 4, его квадрат оканчивается на 6 ($4^2 = 16$).
Если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 5 ($5^2 = 25$).
Если число оканчивается на 6, его квадрат оканчивается на 6 ($6^2 = 36$).
Если число оканчивается на 7, его квадрат оканчивается на 9 ($7^2 = 49$).
Если число оканчивается на 8, его квадрат оканчивается на 4 ($8^2 = 64$).
Если число оканчивается на 9, его квадрат оканчивается на 1 ($9^2 = 81$).

Таким образом, возможные последние цифры для квадрата натурального числа — это 0, 1, 4, 5, 6, 9. Квадрат натурального числа не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8.

Ответ: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

б) четвёртая степень натурального числа?

Аналогично пункту а), последняя цифра четвёртой степени натурального числа $n^4$ зависит только от последней цифры числа $n$. Мы можем найти возможные последние цифры, возведя в четвертую степень все цифры от 0 до 9.

Также можно заметить, что $n^4 = (n^2)^2$. Это означает, что последняя цифра четвертой степени числа $n$ — это последняя цифра квадрата числа, которое само является квадратом. Из пункта а) мы знаем, что квадраты могут оканчиваться на 0, 1, 4, 5, 6, 9. Теперь найдем, на какие цифры оканчиваются квадраты чисел, имеющих эти последние цифры:
Если $n^2$ оканчивается на 0, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на $0^2=0$.
Если $n^2$ оканчивается на 1, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на $1^2=1$.
Если $n^2$ оканчивается на 4, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на $4^2=16 \rightarrow 6$.
Если $n^2$ оканчивается на 5, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на $5^2=25 \rightarrow 5$.
Если $n^2$ оканчивается на 6, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на $6^2=36 \rightarrow 6$.
Если $n^2$ оканчивается на 9, то $(n^2)^2 = n^4$ оканчивается на $9^2=81 \rightarrow 1$.

Объединив все полученные результаты, мы видим, что четвертая степень натурального числа может оканчиваться только на следующие цифры: 0, 1, 5, 6.

Ответ: 0, 1, 5, 6.