Номер 464, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 464, страница 109.

464. Упростите выражение:

а) х⁵ · (х²)³;
б) (х³)⁴ · х⁸;

в) (х⁴)² · (х⁵ )³;
г) (х²)³ · (х³)⁵;

д) (х³)² · (х⁴)⁵;
е) (х⁷)³ · (х³)⁴.

Для упрощения выражений используются следующие свойства степеней:

• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

а) $x^5 \cdot (x^2)^3$

Сначала упростим второй множитель, используя правило возведения степени в степень:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели:

$x^5 \cdot x^6 = x^{5+6} = x^{11}$

Ответ: $x^{11}$

б) $(x^3)^4 \cdot x^8$

Упростим первый множитель:

$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Теперь выполним умножение:

$x^{12} \cdot x^8 = x^{12+8} = x^{20}$

Ответ: $x^{20}$

в) $(x^4)^2 \cdot (x^5)^3$

Упростим каждый множитель по отдельности:

$(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$

$(x^5)^3 = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$

Теперь перемножим результаты:

$x^8 \cdot x^{15} = x^{8+15} = x^{23}$

Ответ: $x^{23}$

г) $(x^2)^3 \cdot (x^3)^5$

Упростим каждый множитель:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$

Теперь выполним умножение:

$x^6 \cdot x^{15} = x^{6+15} = x^{21}$

Ответ: $x^{21}$

д) $(x^{-3})^2 \cdot (x^4)^5$

Упростим каждый множитель:

$(x^{-3})^2 = x^{-3 \cdot 2} = x^{-6}$

$(x^4)^5 = x^{4 \cdot 5} = x^{20}$

Перемножим полученные степени:

$x^{-6} \cdot x^{20} = x^{-6+20} = x^{14}$

Ответ: $x^{14}$

е) $(x^7)^3 \cdot (x^3)^4$

Упростим каждый множитель:

$(x^7)^3 = x^{7 \cdot 3} = x^{21}$

$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Выполним умножение:

$x^{21} \cdot x^{12} = x^{21+12} = x^{33}$

Ответ: $x^{33}$