Номер 458, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

458. Представьте число 2²⁰ в виде степени с основанием:

а) 2²; б) 2⁴; в) 2⁵; г) 2¹⁰.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Согласно этому свойству, чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели перемножить. Мы представим показатель 20 в виде произведения двух множителей, один из которых будет показателем степени в новом основании.

а) Представим число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^2$.
Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $(2^2)^x = 2^{20}$.
Используя свойство степеней, получаем: $2^{2 \cdot x} = 2^{20}$.
Так как основания степеней равны, то должны быть равны и их показатели:
$2 \cdot x = 20$
$x = \frac{20}{2}$
$x = 10$
Следовательно, $2^{20} = (2^2)^{10}$.
Ответ: $(2^2)^{10}$.

б) Представим число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^4$.
Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы $(2^4)^x = 2^{20}$.
Используя свойство степеней, получаем: $2^{4 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$4 \cdot x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Следовательно, $2^{20} = (2^4)^5$.
Ответ: $(2^4)^5$.

в) Представим число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^5$.
Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы $(2^5)^x = 2^{20}$.
Используя свойство степеней, получаем: $2^{5 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$5 \cdot x = 20$
$x = \frac{20}{5}$
$x = 4$
Следовательно, $2^{20} = (2^5)^4$.
Ответ: $(2^5)^4$.

г) Представим число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^{10}$.
Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы $(2^{10})^x = 2^{20}$.
Используя свойство степеней, получаем: $2^{10 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$10 \cdot x = 20$
$x = \frac{20}{10}$
$x = 2$
Следовательно, $2^{20} = (2^{10})^2$.
Ответ: $(2^{10})^2$.