Номер 454, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 454, страница 108.

454. Запишите в виде степени с основанием х выражение:

а) (х⁶)⁴;
б) х⁶х⁴;

в) х²х²;
г) (х²)²;

д) х²х³х⁴;
е) ((х²)³)⁴.

Для решения этой задачи мы будем использовать два основных свойства степеней:

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней основание остается тем же, а показатели складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. Возведение степени в степень: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) В выражении $(x^6)^4$ мы возводим степень в степень. Согласно правилу, мы должны перемножить показатели степеней 6 и 4.
$(x^6)^4 = x^{6 \cdot 4} = x^{24}$.
Ответ: $x^{24}$.

б) В выражении $x^6 x^4$ мы умножаем степени с одинаковым основанием $x$. Согласно правилу, мы должны сложить показатели степеней 6 и 4.
$x^6 x^4 = x^{6+4} = x^{10}$.
Ответ: $x^{10}$.

в) Здесь мы также умножаем степени с одинаковым основанием. Складываем показатели:
$x^2 x^2 = x^{2+2} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

г) Это случай возведения степени в степень. Перемножаем показатели:
$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

д) Правило умножения степеней применяется и для трех множителей. Мы складываем все показатели степеней: 2, 3 и 4.
$x^2 x^3 x^4 = x^{2+3+4} = x^9$.
Ответ: $x^9$.

е) В выражении $((x^2)^3)^4$ правило возведения степени в степень применяется последовательно. Можно перемножить все показатели сразу.
$((x^2)^3)^4 = x^{2 \cdot 3 \cdot 4} = x^{24}$.
Или по шагам: сначала $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$, а затем $(x^6)^4 = x^{6 \cdot 4} = x^{24}$.
Ответ: $x^{24}$.