Номер 449, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Параграф 6. Степень и её свойства. 20. Возведение в степень произведения и степени - номер 449, страница 108.

Условие.

449. (Для работы в парах.) На покраску куба затратили 40 г краски. Хватит ли 1 кг краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в 3 раза больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Решение 1.

Пусть a – длина ребра куба, тогда

S = a² – площадь одной грани куба;

S₁ = 6a² – площадь всей поверхности куба;

S₂ = 6 ⋅ (3a)² = 6 ⋅ 9a² =
= 9 ⋅ 6a² – площадь всей поверхности большего куба;

$\frac{{\mathrm{S}}_2}{{\mathrm{S}}_1}=\frac{9·6{\mathrm{a}}^2}{6{\mathrm{a}}^2}=9 (\mathrm{р}.)$.

Площадь всей поверхности большего куба в 9 раз больше площади всей поверхности меньшего куба с ребром а. Значит, и краски нужно взять в 9 раз больше, т.е.
40 ⋅ 9 = 360 (г);
1 кг = 1000 г;
360 < 1000.

Ответ: хватит.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

Можно сделать два предположения. Первое, более простое, но, скорее всего, неверное: если ребро куба увеличивается в 3 раза, то и количество краски понадобится в 3 раза больше. В этом случае, на покраску нового куба уйдет $40 \text{ г} \cdot 3 = 120 \text{ г}$ краски. Так как $120 \text{ г} < 1 \text{ кг}$ ($1000 \text{ г}$), то краски должно хватить.

Второе, более продуманное предположение: количество краски зависит не от длины ребра, а от площади поверхности, которую нужно покрасить. Площадь поверхности куба зависит от квадрата длины его ребра. Если ребро увеличится в 3 раза, то площадь каждой грани увеличится в $3^2 = 9$ раз. Следовательно, и общая площадь поверхности куба, а значит и количество необходимой краски, тоже увеличатся в 9 раз. По этому предположению, понадобится $40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$ краски. Это количество также меньше, чем $1 \text{ кг}$, поэтому краски все равно должно хватить. Второе предположение выглядит более правдоподобным с математической точки зрения.

Ответ: Предполагаем, что 1 кг краски хватит, так как, скорее всего, потребуется 360 г краски.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

Чтобы решить задачу, нужно точно рассчитать, сколько краски потребуется на новый куб, и сравнить это количество с имеющимся.

1. Найдем, во сколько раз площадь поверхности нового куба больше площади поверхности исходного куба. Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ — длина ребра куба. Пусть $a_1$ — ребро исходного куба. Его площадь поверхности равна $S_1 = 6a_1^2$. Пусть $a_2$ — ребро нового куба. По условию задачи, $a_2 = 3a_1$. Тогда площадь поверхности нового куба равна $S_2 = 6a_2^2 = 6(3a_1)^2 = 6 \cdot (9a_1^2) = 9 \cdot (6a_1^2) = 9S_1$. Это означает, что площадь поверхности нового куба в 9 раз больше площади поверхности исходного куба.

2. Найдем, сколько краски потребуется для покраски нового куба. Расход краски прямо пропорционален площади окрашиваемой поверхности. Поскольку площадь поверхности увеличилась в 9 раз, то и количество необходимой краски увеличится в 9 раз. $40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$. Именно столько краски нужно для покраски нового куба.

3. Сравним необходимое количество краски с имеющимся в наличии. В наличии есть 1 кг краски. Переведем килограммы в граммы для удобства сравнения: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Сравниваем требуемое количество с имеющимся: $360 \text{ г} < 1000 \text{ г}$. Так как необходимое количество краски (360 г) меньше, чем имеющееся (1000 г), то краски хватит.

Ответ: Да, 1 кг краски хватит.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Наши вычисления полностью подтвердили второе, более обоснованное предположение, сделанное в пункте 1. Действительно, количество необходимой краски зависит от площади поверхности, а не от длины ребра. При увеличении длины ребра в 3 раза, площадь поверхности увеличилась в $3^2=9$ раз. Расчет показал, что потребуется ровно 360 г краски, что совпало с нашим предположением. Окончательный вывод — что 1 кг краски хватит — также подтвердился. Если бы мы основывались на "наивном" предположении (что краски понадобится в 3 раза больше, т.е. 120 г), то вычисления бы его опровергли, хотя итоговый ответ (хватит или не хватит) случайно оказался бы верным.

Ответ: Да, наши предположения подтвердились.