Номер 449, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 449, страница 108.

449. (Для работы в парах.) На покраску куба затратили 40 г краски. Хватит ли 1 кг краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в 3 раза больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

Можно сделать два предположения. Первое, более простое, но, скорее всего, неверное: если ребро куба увеличивается в 3 раза, то и количество краски понадобится в 3 раза больше. В этом случае, на покраску нового куба уйдет $40 \text{ г} \cdot 3 = 120 \text{ г}$ краски. Так как $120 \text{ г} < 1 \text{ кг}$ ($1000 \text{ г}$), то краски должно хватить.

Второе, более продуманное предположение: количество краски зависит не от длины ребра, а от площади поверхности, которую нужно покрасить. Площадь поверхности куба зависит от квадрата длины его ребра. Если ребро увеличится в 3 раза, то площадь каждой грани увеличится в $3^2 = 9$ раз. Следовательно, и общая площадь поверхности куба, а значит и количество необходимой краски, тоже увеличатся в 9 раз. По этому предположению, понадобится $40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$ краски. Это количество также меньше, чем $1 \text{ кг}$, поэтому краски все равно должно хватить. Второе предположение выглядит более правдоподобным с математической точки зрения.

Ответ: Предполагаем, что 1 кг краски хватит, так как, скорее всего, потребуется 360 г краски.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

Чтобы решить задачу, нужно точно рассчитать, сколько краски потребуется на новый куб, и сравнить это количество с имеющимся.

1. Найдем, во сколько раз площадь поверхности нового куба больше площади поверхности исходного куба. Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ — длина ребра куба. Пусть $a_1$ — ребро исходного куба. Его площадь поверхности равна $S_1 = 6a_1^2$. Пусть $a_2$ — ребро нового куба. По условию задачи, $a_2 = 3a_1$. Тогда площадь поверхности нового куба равна $S_2 = 6a_2^2 = 6(3a_1)^2 = 6 \cdot (9a_1^2) = 9 \cdot (6a_1^2) = 9S_1$. Это означает, что площадь поверхности нового куба в 9 раз больше площади поверхности исходного куба.

2. Найдем, сколько краски потребуется для покраски нового куба. Расход краски прямо пропорционален площади окрашиваемой поверхности. Поскольку площадь поверхности увеличилась в 9 раз, то и количество необходимой краски увеличится в 9 раз. $40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$. Именно столько краски нужно для покраски нового куба.

3. Сравним необходимое количество краски с имеющимся в наличии. В наличии есть 1 кг краски. Переведем килограммы в граммы для удобства сравнения: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Сравниваем требуемое количество с имеющимся: $360 \text{ г} < 1000 \text{ г}$. Так как необходимое количество краски (360 г) меньше, чем имеющееся (1000 г), то краски хватит.

Ответ: Да, 1 кг краски хватит.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Наши вычисления полностью подтвердили второе, более обоснованное предположение, сделанное в пункте 1. Действительно, количество необходимой краски зависит от площади поверхности, а не от длины ребра. При увеличении длины ребра в 3 раза, площадь поверхности увеличилась в $3^2=9$ раз. Расчет показал, что потребуется ровно 360 г краски, что совпало с нашим предположением. Окончательный вывод — что 1 кг краски хватит — также подтвердился. Если бы мы основывались на "наивном" предположении (что краски понадобится в 3 раза больше, т.е. 120 г), то вычисления бы его опровергли, хотя итоговый ответ (хватит или не хватит) случайно оказался бы верным.

Ответ: Да, наши предположения подтвердились.