Номер 447, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

447. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в n раз?

Чтобы определить, как изменится площадь квадрата, необходимо вспомнить формулу для ее вычисления. Площадь квадрата ($S$) равна квадрату его стороны ($a$):

$S = a^2$

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$, а его первоначальная площадь – $S_1 = a^2$. Рассмотрим каждый случай.

в 2 раза

Если сторону квадрата увеличить в 2 раза, то ее новая длина составит $2a$. Подставим новое значение стороны в формулу площади: $S_2 = (2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$. Теперь найдем отношение новой площади к первоначальной, чтобы узнать, во сколько раз она изменилась: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{4a^2}{a^2} = 4$. Следовательно, площадь квадрата увеличится в 4 раза.

Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

в 3 раза

Если сторону квадрата увеличить в 3 раза, то ее новая длина составит $3a$. Новая площадь будет равна: $S_3 = (3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$. Найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_3}{S_1} = \frac{9a^2}{a^2} = 9$. Следовательно, площадь квадрата увеличится в 9 раз.

Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

в 10 раз

Если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то ее новая длина составит $10a$. Новая площадь будет равна: $S_{10} = (10a)^2 = 10^2 \cdot a^2 = 100a^2$. Найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_{10}}{S_1} = \frac{100a^2}{a^2} = 100$. Следовательно, площадь квадрата увеличится в 100 раз.

Ответ: площадь увеличится в 100 раз.

в n раз

Обобщим задачу. Если сторону квадрата увеличить в $n$ раз, то ее новая длина составит $n \cdot a$. Новая площадь будет равна: $S_n = (n \cdot a)^2 = n^2 \cdot a^2$. Найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_n}{S_1} = \frac{n^2 a^2}{a^2} = n^2$. Следовательно, при увеличении стороны квадрата в $n$ раз, его площадь увеличивается в $n^2$ раз.

Ответ: площадь увеличится в $n^2$ раз.