Номер 440, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

440. Пусть а − произвольное число. Сравните с нулём значение выражения:

а) 6а²; б) −а²; в) а² + 4; г) (а + 4)²; д) −а² − 5.

а) По определению, квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным числом, то есть $a^2 \geq 0$. Выражение $6a^2$ представляет собой произведение положительного числа 6 и неотрицательного числа $a^2$. Если $a=0$, то $a^2=0$, и значение выражения равно $6 \cdot 0 = 0$. Если $a \neq 0$, то $a^2 > 0$, и значение выражения $6a^2$ будет положительным. Следовательно, для любого произвольного числа $a$, значение выражения $6a^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $6a^2 \geq 0$.

б) Мы знаем, что для любого числа $a$ выполняется неравенство $a^2 \geq 0$. Выражение $-a^2$ можно представить как $-1 \cdot a^2$. Это произведение отрицательного числа (-1) и неотрицательного числа ($a^2$). Если $a=0$, то $a^2=0$, и значение выражения равно $-0 = 0$. Если $a \neq 0$, то $a^2 > 0$, и произведение $-1 \cdot a^2$ будет отрицательным. Таким образом, для любого произвольного числа $a$, значение выражения $-a^2$ всегда меньше или равно нулю.
Ответ: $-a^2 \leq 0$.

в) Значение $a^2$ всегда неотрицательно, то есть $a^2 \geq 0$. В выражении $a^2+4$ к неотрицательному числу $a^2$ прибавляется положительное число 4. Наименьшее возможное значение $a^2$ равно 0 (при $a=0$). В этом случае выражение принимает значение $0+4=4$. Если $a \neq 0$, то $a^2>0$, и значение выражения $a^2+4$ будет больше 4. Следовательно, для любого $a$ значение выражения $a^2+4$ всегда строго больше нуля.
Ответ: $a^2+4 > 0$.

г) Выражение $(a+4)^2$ является квадратом числа $(a+4)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Значение выражения равно нулю тогда и только тогда, когда основание степени равно нулю: $a+4=0$, то есть при $a=-4$. Во всех остальных случаях, когда $a \neq -4$, основание $a+4$ не равно нулю, и его квадрат $(a+4)^2$ будет строго положительным. Таким образом, для любого произвольного числа $a$, значение выражения $(a+4)^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $(a+4)^2 \geq 0$.

д) Как мы установили в пункте б), выражение $-a^2$ является неположительным, то есть $-a^2 \leq 0$. В выражении $-a^2 - 5$ из неположительного числа вычитается положительное число 5. Наибольшее возможное значение $-a^2$ равно 0 (при $a=0$). В этом случае выражение равно $0 - 5 = -5$. Если $a \neq 0$, то $-a^2 < 0$, и значение выражения $-a^2-5$ будет еще меньше, то есть меньше -5. Следовательно, для любого $a$ значение выражения $-a^2 - 5$ всегда будет строго меньше нуля.
Ответ: $-a^2 - 5 < 0$.