Номер 446, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 446, страница 107.

446. Докажите, что:

а) квадраты противоположных чисел равны;

б) кубы противоположных чисел противоположны.

а) квадраты противоположных чисел равны; Пусть дано произвольное число $a$. Противоположным ему числом будет $-a$. Квадрат числа $a$ равен $a^2$. Квадрат противоположного ему числа $-a$ равен $(-a)^2$. Используя свойства степени, преобразуем второе выражение: $(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$. Так как $a^2$ и $(-a)^2$ равны одному и тому же выражению $a^2$, то они равны между собой: $a^2 = (-a)^2$. Это доказывает, что квадраты противоположных чисел равны.
Ответ: Квадраты противоположных чисел $a$ и $-a$ равны, поскольку $(-a)^2 = a^2$.

б) кубы противоположных чисел противоположны. Пусть дано произвольное число $a$. Противоположным ему числом будет $-a$. Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Нам нужно доказать, что кубы чисел $a$ и $-a$ являются противоположными, то есть их сумма равна нулю. Куб числа $a$ равен $a^3$. Куб противоположного ему числа $-a$ равен $(-a)^3$. Используя свойства степени, преобразуем второе выражение: $(-a)^3 = (-1 \cdot a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 = -1 \cdot a^3 = -a^3$. Теперь найдем сумму кубов этих двух чисел: $a^3 + (-a)^3 = a^3 + (-a^3) = a^3 - a^3 = 0$. Поскольку сумма кубов чисел $a$ и $-a$ равна нулю, они являются противоположными числами.
Ответ: Кубы противоположных чисел $a$ и $-a$ являются противоположными числами, так как их значения, $a^3$ и $-a^3$, являются противоположными числами (их сумма равна 0).