Номер 450, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Параграф 6. Степень и её свойства. 20. Возведение в степень произведения и степени - номер 450, страница 108.

Условие.

450. (Для работы в парах.) Бассейн, имеющий форму куба, наполняется водой через трубу за 40 мин. Успеют ли за 5 ч наполнить водой через ту же трубу бассейн, имеющий форму куба, ребро которого вдвое больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Решение 1.

Пусть a – длина ребра куба, тогда
V = a³ – объём куба, который наполняют за 40 мин. $=\frac{2}{3}\mathrm{ч};$

V₁ = (2a)³ = 8a³;

$\frac{{\mathrm{V}}_1}{\mathrm{V}}=\frac{8{\mathrm{a}}^3}{{\mathrm{a}}^3}=8.$

Объём куба, длина ребра которого в 2 раза больше, в 8 раз больше объёма куба с ребром а. Значит, и времени на его заполнение также в 8 раз больше понадобится, т.е.
$\frac{2}{3}·8=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3} \left(\mathrm{ч}\right)$ – это 5 ч 20 мин;

5 ч 20 мин > 5 ч.

Ответ: не успеют.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.
С одной стороны, можно подумать, что если ребро бассейна стало вдвое больше, то и времени понадобится вдвое больше. В этом случае время наполнения составило бы $40 \text{ мин} \times 2 = 80 \text{ мин}$. Это равно 1 часу 20 минутам, что значительно меньше 5 часов. При таком рассуждении, ответ был бы "успеют".
С другой стороны, нужно учитывать, что наполняется объем, а объем куба вычисляется по формуле $V=a^3$. Если ребро $a$ увеличить в 2 раза, то объем увеличится в $2^3 = 8$ раз. Следовательно, и времени на заполнение потребуется в 8 раз больше: $40 \text{ мин} \times 8 = 320 \text{ мин}$. Переведем 5 часов в минуты: $5 \text{ ч} \times 60 \text{ мин/ч} = 300 \text{ мин}$. Поскольку $320 \text{ мин} > 300 \text{ мин}$, времени не хватит. Это предположение выглядит более математически обоснованным.
Ответ: Предполагаем, что наполнить бассейн за 5 часов не успеют.

2) Выполните самостоятельно вычисления.
Обозначим длину ребра первого бассейна как $a$. Его объем равен $V_1 = a^3$.
Время наполнения этого бассейна составляет $t_1 = 40$ минут.
Производительность трубы (скорость подачи воды) можно вычислить как отношение объема ко времени: $P = \frac{V_1}{t_1} = \frac{a^3}{40}$ (единиц объема в минуту).
Ребро второго бассейна вдвое больше, его длина равна $2a$.
Объем второго бассейна равен $V_2 = (2a)^3 = 8a^3$.
Поскольку используется та же самая труба, производительность $P$ остается постоянной. Найдем время $t_2$, необходимое для заполнения второго бассейна:
$t_2 = \frac{V_2}{P} = \frac{8a^3}{\frac{a^3}{40}} = 8a^3 \cdot \frac{40}{a^3} = 8 \cdot 40 = 320$ минут.
Теперь необходимо сравнить это время с предоставленным лимитом в 5 часов. Переведем часы в минуты:
$5 \text{ часов} = 5 \times 60 \text{ минут} = 300$ минут.
Сравниваем время, необходимое для заполнения ($t_2$), и доступное время (300 минут):
$320 \text{ минут} > 300 \text{ минут}$.
Следовательно, 5 часов будет недостаточно, чтобы наполнить второй, больший бассейн.
Ответ: Не успеют.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.
Интуитивное предположение о том, что времени потребуется в два раза больше, оказалось неверным. Это распространенная ошибка, когда линейное увеличение размера путают с увеличением объема.
Более обоснованное предположение, учитывающее, что объем куба увеличивается в 8 раз при увеличении ребра в 2 раза, полностью подтвердилось математическими расчетами. Вычисления показали, что для заполнения бассейна требуется 320 минут, в то время как в распоряжении есть только 300 минут. Таким образом, второе, более продуманное предположение, было верным.
Ответ: Да, предположение, основанное на том, что объем увеличится в 8 раз, подтвердилось.