Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

449. (Для работы в парах.) На покраску куба затратили 40 г краски. Хватит ли 1 кг краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в 3 раза больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

Можно сделать два предположения. Первое, более простое, но, скорее всего, неверное: если ребро куба увеличивается в 3 раза, то и количество краски понадобится в 3 раза больше. В этом случае, на покраску нового куба уйдет $40 \text{ г} \cdot 3 = 120 \text{ г}$ краски. Так как $120 \text{ г} < 1 \text{ кг}$ ($1000 \text{ г}$), то краски должно хватить.

Второе, более продуманное предположение: количество краски зависит не от длины ребра, а от площади поверхности, которую нужно покрасить. Площадь поверхности куба зависит от квадрата длины его ребра. Если ребро увеличится в 3 раза, то площадь каждой грани увеличится в $3^2 = 9$ раз. Следовательно, и общая площадь поверхности куба, а значит и количество необходимой краски, тоже увеличатся в 9 раз. По этому предположению, понадобится $40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$ краски. Это количество также меньше, чем $1 \text{ кг}$, поэтому краски все равно должно хватить. Второе предположение выглядит более правдоподобным с математической точки зрения.

Ответ: Предполагаем, что 1 кг краски хватит, так как, скорее всего, потребуется 360 г краски.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

Чтобы решить задачу, нужно точно рассчитать, сколько краски потребуется на новый куб, и сравнить это количество с имеющимся.

1. Найдем, во сколько раз площадь поверхности нового куба больше площади поверхности исходного куба. Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ — длина ребра куба. Пусть $a_1$ — ребро исходного куба. Его площадь поверхности равна $S_1 = 6a_1^2$. Пусть $a_2$ — ребро нового куба. По условию задачи, $a_2 = 3a_1$. Тогда площадь поверхности нового куба равна $S_2 = 6a_2^2 = 6(3a_1)^2 = 6 \cdot (9a_1^2) = 9 \cdot (6a_1^2) = 9S_1$. Это означает, что площадь поверхности нового куба в 9 раз больше площади поверхности исходного куба.

2. Найдем, сколько краски потребуется для покраски нового куба. Расход краски прямо пропорционален площади окрашиваемой поверхности. Поскольку площадь поверхности увеличилась в 9 раз, то и количество необходимой краски увеличится в 9 раз. $40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$. Именно столько краски нужно для покраски нового куба.

3. Сравним необходимое количество краски с имеющимся в наличии. В наличии есть 1 кг краски. Переведем килограммы в граммы для удобства сравнения: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Сравниваем требуемое количество с имеющимся: $360 \text{ г} < 1000 \text{ г}$. Так как необходимое количество краски (360 г) меньше, чем имеющееся (1000 г), то краски хватит.

Ответ: Да, 1 кг краски хватит.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Наши вычисления полностью подтвердили второе, более обоснованное предположение, сделанное в пункте 1. Действительно, количество необходимой краски зависит от площади поверхности, а не от длины ребра. При увеличении длины ребра в 3 раза, площадь поверхности увеличилась в $3^2=9$ раз. Расчет показал, что потребуется ровно 360 г краски, что совпало с нашим предположением. Окончательный вывод — что 1 кг краски хватит — также подтвердился. Если бы мы основывались на "наивном" предположении (что краски понадобится в 3 раза больше, т.е. 120 г), то вычисления бы его опровергли, хотя итоговый ответ (хватит или не хватит) случайно оказался бы верным.

Ответ: Да, наши предположения подтвердились.

450. (Для работы в парах.) Бассейн, имеющий форму куба, наполняется водой через трубу за 40 мин. Успеют ли за 5 ч наполнить водой через ту же трубу бассейн, имеющий форму куба, ребро которого вдвое больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.
С одной стороны, можно подумать, что если ребро бассейна стало вдвое больше, то и времени понадобится вдвое больше. В этом случае время наполнения составило бы $40 \text{ мин} \times 2 = 80 \text{ мин}$. Это равно 1 часу 20 минутам, что значительно меньше 5 часов. При таком рассуждении, ответ был бы "успеют".
С другой стороны, нужно учитывать, что наполняется объем, а объем куба вычисляется по формуле $V=a^3$. Если ребро $a$ увеличить в 2 раза, то объем увеличится в $2^3 = 8$ раз. Следовательно, и времени на заполнение потребуется в 8 раз больше: $40 \text{ мин} \times 8 = 320 \text{ мин}$. Переведем 5 часов в минуты: $5 \text{ ч} \times 60 \text{ мин/ч} = 300 \text{ мин}$. Поскольку $320 \text{ мин} > 300 \text{ мин}$, времени не хватит. Это предположение выглядит более математически обоснованным.
Ответ: Предполагаем, что наполнить бассейн за 5 часов не успеют.

2) Выполните самостоятельно вычисления.
Обозначим длину ребра первого бассейна как $a$. Его объем равен $V_1 = a^3$.
Время наполнения этого бассейна составляет $t_1 = 40$ минут.
Производительность трубы (скорость подачи воды) можно вычислить как отношение объема ко времени: $P = \frac{V_1}{t_1} = \frac{a^3}{40}$ (единиц объема в минуту).
Ребро второго бассейна вдвое больше, его длина равна $2a$.
Объем второго бассейна равен $V_2 = (2a)^3 = 8a^3$.
Поскольку используется та же самая труба, производительность $P$ остается постоянной. Найдем время $t_2$, необходимое для заполнения второго бассейна:
$t_2 = \frac{V_2}{P} = \frac{8a^3}{\frac{a^3}{40}} = 8a^3 \cdot \frac{40}{a^3} = 8 \cdot 40 = 320$ минут.
Теперь необходимо сравнить это время с предоставленным лимитом в 5 часов. Переведем часы в минуты:
$5 \text{ часов} = 5 \times 60 \text{ минут} = 300$ минут.
Сравниваем время, необходимое для заполнения ($t_2$), и доступное время (300 минут):
$320 \text{ минут} > 300 \text{ минут}$.
Следовательно, 5 часов будет недостаточно, чтобы наполнить второй, больший бассейн.
Ответ: Не успеют.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.
Интуитивное предположение о том, что времени потребуется в два раза больше, оказалось неверным. Это распространенная ошибка, когда линейное увеличение размера путают с увеличением объема.
Более обоснованное предположение, учитывающее, что объем куба увеличивается в 8 раз при увеличении ребра в 2 раза, полностью подтвердилось математическими расчетами. Вычисления показали, что для заполнения бассейна требуется 320 минут, в то время как в распоряжении есть только 300 минут. Таким образом, второе, более продуманное предположение, было верным.
Ответ: Да, предположение, основанное на том, что объем увеличится в 8 раз, подтвердилось.

451. Представьте в виде степени произведение:

Чтобы представить произведение в виде степени, используется свойство степени: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$. Это свойство означает, что если несколько множителей возведены в одну и ту же степень, то можно сначала перемножить основания, а затем возвести результат в эту общую степень.

а) Дано произведение $b^3x^3$. Оба множителя, $b$ и $x$, возведены в одинаковую степень 3. Применяя свойство степени произведения, объединяем основания под общим показателем степени:

$b^3x^3 = (b \cdot x)^3 = (bx)^3$

Ответ: $(bx)^3$

б) В выражении $a^7y^7$ множители $a$ и $y$ имеют одинаковый показатель степени 7. Используя то же свойство, получаем:

$a^7y^7 = (a \cdot y)^7 = (ay)^7$

Ответ: $(ay)^7$

в) В выражении $x^2y^2z^2$ все три множителя $x, y, z$ возведены в степень 2. Свойство степени произведения распространяется на любое количество множителей:

$x^2y^2z^2 = (x \cdot y \cdot z)^2 = (xyz)^2$

Ответ: $(xyz)^2$

г) Дано произведение $(-a)^3b^3$. Основаниями являются $(-a)$ и $b$, а общий показатель степени равен 3. Объединяем их под общей степенью:

$(-a)^3b^3 = ((-a) \cdot b)^3 = (-ab)^3$

Ответ: $(-ab)^3$

д) В выражении $32a^5$ показатель степени у переменной $a$ равен 5. Чтобы применить свойство, нужно представить число 32 как число в пятой степени. Найдем такое число:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Теперь выражение можно записать как $2^5a^5$. Применяем свойство степени произведения:

$2^5a^5 = (2a)^5$

Ответ: $(2a)^5$

е) В выражении $0,027m^3$ переменная $m$ находится в третьей степени. Представим коэффициент 0,027 в виде числа в третьей степени. Мы знаем, что $3^3=27$, поэтому проверим число 0,3:

$0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,3 = 0,027$

Следовательно, выражение можно переписать как $(0,3)^3m^3$. Теперь применяем свойство степени произведения:

$(0,3)^3m^3 = (0,3m)^3$

Ответ: $(0,3m)^3$

452. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) 2^4 · 5^4;$ $\mathrm{б}) 4^3 · {25}^3;$ $\mathrm{в}) {0,25}^{15} · 4^{15};$ $\mathrm{г}) {\left(\frac{2}{3}\right)}^7· {1,5}^7;$ $\mathrm{д}) {\left(\frac{5}{7}\right)}^{10}· {1,4}^9;$ $\mathrm{е}) {0,2}^6 · {50}^7.$

а) Для нахождения значения выражения $2^4 \cdot 5^4$ воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.

Ответ: 10000.

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство степени произведения к выражению $4^3 \cdot 25^3$.

$4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1000000$.

Ответ: 1000000.

в) Используем то же свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для выражения $0,25^{15} \cdot 4^{15}$.

$0,25^{15} \cdot 4^{15} = (0,25 \cdot 4)^{15} = 1^{15} = 1$.

Ответ: 1.

г) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и применим свойство степени произведения. $1,5$ можно представить как $\frac{3}{2}$.

$(\frac{2}{3})^7 \cdot 1,5^7 = (\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^7 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^7 = 1^7 = 1$.

Ответ: 1.

д) В выражении $(\frac{5}{7})^{10} \cdot 1,4^9$ показатели степеней различны. Представим $(\frac{5}{7})^{10}$ как $(\frac{5}{7})^1 \cdot (\frac{5}{7})^9$. Также преобразуем $1,4$ в обыкновенную дробь: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

$(\frac{5}{7})^{10} \cdot 1,4^9 = \frac{5}{7} \cdot (\frac{5}{7})^9 \cdot (\frac{7}{5})^9 = \frac{5}{7} \cdot (\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5})^9 = \frac{5}{7} \cdot 1^9 = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

е) В выражении $0,2^6 \cdot 50^7$ показатели степеней также различны. Представим $50^7$ как $50^6 \cdot 50^1$, чтобы сгруппировать множители с одинаковым показателем степени.

$0,2^6 \cdot 50^7 = 0,2^6 \cdot 50^6 \cdot 50 = (0,2 \cdot 50)^6 \cdot 50 = 10^6 \cdot 50 = 1000000 \cdot 50 = 50000000$.

Ответ: 50000000.

453. Выполните возведение в степень:

Для решения данной задачи используется свойство степени: при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются. Формула этого свойства выглядит так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) $(x^3)^2$
Применяем свойство возведения степени в степень, где основание $x$, а показатели $3$ и $2$.
$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
Ответ: $x^6$.

б) $(x^2)^3$
Аналогично пункту а), перемножаем показатели $2$ и $3$.
$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.
Ответ: $x^6$.

в) $(a^5)^4$
Применяем свойство для основания $a$ и показателей $5$ и $4$.
$(a^5)^4 = a^{5 \cdot 4} = a^{20}$.
Ответ: $a^{20}$.

г) $(a^6)^3$
Перемножаем показатели $6$ и $3$ для основания $a$.
$(a^6)^3 = a^{6 \cdot 3} = a^{18}$.
Ответ: $a^{18}$.

д) $(y^2)^5$
Используем свойство для основания $y$ и показателей $2$ и $5$.
$(y^2)^5 = y^{2 \cdot 5} = y^{10}$.
Ответ: $y^{10}$.

е) $(y^7)^2$
Перемножаем показатели $7$ и $2$ для основания $y$.
$(y^7)^2 = y^{7 \cdot 2} = y^{14}$.
Ответ: $y^{14}$.

ж) $(b^3)^3$
Применяем свойство для основания $b$ и показателей $3$ и $3$.
$(b^3)^3 = b^{3 \cdot 3} = b^9$.
Ответ: $b^9$.

з) $(b^5)^2$
Перемножаем показатели $5$ и $2$ для основания $b$.
$(b^5)^2 = b^{5 \cdot 2} = b^{10}$.
Ответ: $b^{10}$.

454. Запишите в виде степени с основанием х выражение:

Для решения этой задачи мы будем использовать два основных свойства степеней:

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней основание остается тем же, а показатели складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. Возведение степени в степень: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) В выражении $(x^6)^4$ мы возводим степень в степень. Согласно правилу, мы должны перемножить показатели степеней 6 и 4.
$(x^6)^4 = x^{6 \cdot 4} = x^{24}$.
Ответ: $x^{24}$.

б) В выражении $x^6 x^4$ мы умножаем степени с одинаковым основанием $x$. Согласно правилу, мы должны сложить показатели степеней 6 и 4.
$x^6 x^4 = x^{6+4} = x^{10}$.
Ответ: $x^{10}$.

в) Здесь мы также умножаем степени с одинаковым основанием. Складываем показатели:
$x^2 x^2 = x^{2+2} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

г) Это случай возведения степени в степень. Перемножаем показатели:
$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

д) Правило умножения степеней применяется и для трех множителей. Мы складываем все показатели степеней: 2, 3 и 4.
$x^2 x^3 x^4 = x^{2+3+4} = x^9$.
Ответ: $x^9$.

е) В выражении $((x^2)^3)^4$ правило возведения степени в степень применяется последовательно. Можно перемножить все показатели сразу.
$((x^2)^3)^4 = x^{2 \cdot 3 \cdot 4} = x^{24}$.
Или по шагам: сначала $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$, а затем $(x^6)^4 = x^{6 \cdot 4} = x^{24}$.
Ответ: $x^{24}$.

455. Представьте в виде степени с основанием а выражение:

а) (а⁵)²; б) а⁵а²; в) (а⁴)³; г) а³а⁴; д) а⁵а⁵; е) (а⁵)⁵.

Для решения данной задачи необходимо использовать два основных свойства степеней:

1. Свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели степеней складываются.
2. Свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. При возведении степени в степень, основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

а) В выражении $(a^5)^2$ мы возводим степень в степень. Применяем второе свойство: основание $a$ остается, а показатели $5$ и $2$ перемножаются.

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$

Ответ: $a^{10}$.

б) В выражении $a^5 a^2$ мы умножаем две степени с одинаковым основанием $a$. Применяем первое свойство: основание $a$ остается, а показатели $5$ и $2$ складываются.

$a^5 a^2 = a^{5+2} = a^7$

Ответ: $a^7$.

в) В выражении $(a^4)^3$ мы возводим степень в степень. Используем второе свойство: основание $a$ остается, а показатели $4$ и $3$ перемножаются.

$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$

Ответ: $a^{12}$.

г) В выражении $a^3 a^4$ мы умножаем две степени с одинаковым основанием $a$. Используем первое свойство: основание $a$ остается, а показатели $3$ и $4$ складываются.

$a^3 a^4 = a^{3+4} = a^7$

Ответ: $a^7$.

д) В выражении $a^5 a^5$ мы умножаем две степени с одинаковым основанием $a$. Применяем первое свойство: основание $a$ остается, а показатели $5$ и $5$ складываются.

$a^5 a^5 = a^{5+5} = a^{10}$

Ответ: $a^{10}$.

е) В выражении $(a^5)^5$ мы возводим степень в степень. Применяем второе свойство: основание $a$ остается, а показатели $5$ и $5$ перемножаются.

$(a^5)^5 = a^{5 \cdot 5} = a^{25}$

Ответ: $a^{25}$.

456. Представьте в виде степени с основанием а:

a) aⁿa³; б) aa^m; в) a²a^m; г) (a²)^m; д) (aⁿ)³; e) (a³)ⁿ.

а) Для того чтобы представить произведение $a^n a^3$ в виде степени, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а основание остается неизменным: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
Применяя это правило, получаем:
$a^n a^3 = a^{n+3}$.
Ответ: $a^{n+3}$.

б) В выражении $aa^m$ первый множитель $a$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $a = a^1$. Далее, применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
$aa^m = a^1 \cdot a^m = a^{1+m}$.
Ответ: $a^{1+m}$.

в) Выражение $a^2 a^m$ представляет собой произведение двух степеней с одинаковым основанием $a$. Применяем правило сложения показателей:
$a^2 a^m = a^{2+m}$.
Ответ: $a^{2+m}$.

г) Для того чтобы представить выражение $(a^2)^m$ в виде степени, используется свойство возведения степени в степень. По этому правилу, основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
Применяя это правило, получаем:
$(a^2)^m = a^{2 \cdot m} = a^{2m}$.
Ответ: $a^{2m}$.

д) Выражение $(a^n)^3$ является возведением степени в степень. Используем то же правило, что и в предыдущем пункте: основание $a$ оставляем без изменений, а показатели $n$ и $3$ перемножаем.
$(a^n)^3 = a^{n \cdot 3} = a^{3n}$.
Ответ: $a^{3n}$.

е) В выражении $(a^3)^n$ мы также возводим степень в степень. По правилу возведения степени в степень, показатели перемножаются.
$(a^3)^n = a^{3 \cdot n} = a^{3n}$.
Ответ: $a^{3n}$.

457. Представьте в виде степени с основанием 5 число:

а) 25⁴;б) 125³;в) 625².

а) Чтобы представить число $25^4$ в виде степени с основанием 5, необходимо сначала выразить число 25 как степень пятерки. Мы знаем, что $25 = 5^2$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$25^4 = (5^2)^4$.

Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В данном случае показатели степеней перемножаются:

$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.

Ответ: $5^8$.

б) Аналогично предыдущему пункту, представим число $125^3$ в виде степени с основанием 5. Сначала выразим 125 как степень пятерки. Мы знаем, что $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$125^3 = (5^3)^3$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9$.

Ответ: $5^9$.

в) Представим число $625^2$ в виде степени с основанием 5. Для этого выразим 625 как степень пятерки. Мы знаем, что $625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$625^2 = (5^4)^2$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8$.

Ответ: $5^8$.

458. Представьте число 2²⁰ в виде степени с основанием:

а) 2²; б) 2⁴; в) 2⁵; г) 2¹⁰.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Согласно этому свойству, чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели перемножить. Мы представим показатель 20 в виде произведения двух множителей, один из которых будет показателем степени в новом основании.

а) Представим число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^2$.
Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $(2^2)^x = 2^{20}$.
Используя свойство степеней, получаем: $2^{2 \cdot x} = 2^{20}$.
Так как основания степеней равны, то должны быть равны и их показатели:
$2 \cdot x = 20$
$x = \frac{20}{2}$
$x = 10$
Следовательно, $2^{20} = (2^2)^{10}$.
Ответ: $(2^2)^{10}$.

б) Представим число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^4$.
Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы $(2^4)^x = 2^{20}$.
Используя свойство степеней, получаем: $2^{4 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$4 \cdot x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Следовательно, $2^{20} = (2^4)^5$.
Ответ: $(2^4)^5$.

в) Представим число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^5$.
Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы $(2^5)^x = 2^{20}$.
Используя свойство степеней, получаем: $2^{5 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$5 \cdot x = 20$
$x = \frac{20}{5}$
$x = 4$
Следовательно, $2^{20} = (2^5)^4$.
Ответ: $(2^5)^4$.

г) Представим число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^{10}$.
Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы $(2^{10})^x = 2^{20}$.
Используя свойство степеней, получаем: $2^{10 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$10 \cdot x = 20$
$x = \frac{20}{10}$
$x = 2$
Следовательно, $2^{20} = (2^{10})^2$.
Ответ: $(2^{10})^2$.

459. Запишите число 2⁶⁰ в виде степени с основанием:

а) 4; б) 8; в) 16; г) 32.

а) 4;
Чтобы записать число $2^{60}$ в виде степени с основанием 4, необходимо сначала представить новое основание (4) как степень исходного основания (2). Мы знаем, что $4 = 2^2$.
Далее используем свойство степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно преобразовать $2^{60}$ к виду $(2^2)^x$.
Для этого представим показатель 60 в виде произведения, где один из множителей равен 2: $60 = 2 \cdot 30$.
Таким образом, $2^{60} = 2^{2 \cdot 30} = (2^2)^{30}$.
Заменив $2^2$ на 4, получаем: $4^{30}$.
Ответ: $4^{30}$

б) 8;
Аналогично пункту а), представим основание 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.
Теперь представим показатель 60 в виде произведения с множителем 3: $60 = 3 \cdot 20$.
Следовательно, $2^{60} = 2^{3 \cdot 20} = (2^3)^{20}$.
Заменяем $2^3$ на 8 и получаем результат: $8^{20}$.
Ответ: $8^{20}$

в) 16;
Представим основание 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.
Представим показатель 60 в виде произведения с множителем 4: $60 = 4 \cdot 15$.
Тогда $2^{60} = 2^{4 \cdot 15} = (2^4)^{15}$.
Подставляя $16$ вместо $2^4$, получаем: $16^{15}$.
Ответ: $16^{15}$

г) 32.
Представим основание 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$.
Представим показатель 60 в виде произведения с множителем 5: $60 = 5 \cdot 12$.
Значит, $2^{60} = 2^{5 \cdot 12} = (2^5)^{12}$.
Заменив $2^5$ на 32, получаем итоговый вид: $32^{12}$.
Ответ: $32^{12}$