Номер 452, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Параграф 6. Степень и её свойства. 20. Возведение в степень произведения и степени - номер 452, страница 108.

Условие.

452. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) 2^4 · 5^4;$ $\mathrm{б}) 4^3 · {25}^3;$ $\mathrm{в}) {0,25}^{15} · 4^{15};$ $\mathrm{г}) {\left(\frac{2}{3}\right)}^7· {1,5}^7;$ $\mathrm{д}) {\left(\frac{5}{7}\right)}^{10}· {1,4}^9;$ $\mathrm{е}) {0,2}^6 · {50}^7.$

Решение 1.

а) 2⁴ ⋅ 5⁴ = (2 ⋅ 5)⁴ = 10⁴ =
= 10 000;

б) 4³ ⋅ 25³ = (4 ⋅ 25)³ = 100³ =
= 1 000 000;

в) 0,25¹⁵ ⋅ 4¹⁵ = (0,25 ⋅ 4)¹⁵ =
= 1¹⁵ = 1;

г) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^7·1,5^7={\left(\frac{2}{3}·1,5\right)}^7={\left(\frac{3}{3}\right)}^7=$

$=1^7=1;$

д) ${\left(\frac{5}{7}\right)}^{10}·1,4^9={\left(\frac{5}{7}\right)}^9·\frac{5}{7}·1,4^9=$

$={\left(\frac{5}{7}·1,4\right)}^9·\frac{5}{7}={\left(\frac{7}{7}\right)}^9·\frac{5}{7}=$

$=1^9·\frac{5}{7}=1·\frac{5}{7}=\frac{5}{7};$

е) 0,2⁶ ⋅ 50⁷ = 0,2⁶ ⋅ 50⁶ ⋅ 50 =
= (0,2 ⋅ 50)⁶ ⋅ 50 = 10⁶ ⋅ 50 =
= 50 000 000.

Решение 2.

а) Для нахождения значения выражения $2^4 \cdot 5^4$ воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.

Ответ: 10000.

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство степени произведения к выражению $4^3 \cdot 25^3$.

$4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1000000$.

Ответ: 1000000.

в) Используем то же свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для выражения $0,25^{15} \cdot 4^{15}$.

$0,25^{15} \cdot 4^{15} = (0,25 \cdot 4)^{15} = 1^{15} = 1$.

Ответ: 1.

г) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и применим свойство степени произведения. $1,5$ можно представить как $\frac{3}{2}$.

$(\frac{2}{3})^7 \cdot 1,5^7 = (\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^7 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^7 = 1^7 = 1$.

Ответ: 1.

д) В выражении $(\frac{5}{7})^{10} \cdot 1,4^9$ показатели степеней различны. Представим $(\frac{5}{7})^{10}$ как $(\frac{5}{7})^1 \cdot (\frac{5}{7})^9$. Также преобразуем $1,4$ в обыкновенную дробь: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

$(\frac{5}{7})^{10} \cdot 1,4^9 = \frac{5}{7} \cdot (\frac{5}{7})^9 \cdot (\frac{7}{5})^9 = \frac{5}{7} \cdot (\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5})^9 = \frac{5}{7} \cdot 1^9 = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

е) В выражении $0,2^6 \cdot 50^7$ показатели степеней также различны. Представим $50^7$ как $50^6 \cdot 50^1$, чтобы сгруппировать множители с одинаковым показателем степени.

$0,2^6 \cdot 50^7 = 0,2^6 \cdot 50^6 \cdot 50 = (0,2 \cdot 50)^6 \cdot 50 = 10^6 \cdot 50 = 1000000 \cdot 50 = 50000000$.

Ответ: 50000000.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.