Номер 463, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 463, страница 109.

463. Запишите в виде степени с основанием а выражение:

а) (а²)⁴;
б) а³ · (а³)²;

в) (а⁵)² · (а²)²;
г) (а³)³ · (а³)³;

д) (a³a³)²;
е) (aa⁶)³.

а) Для того чтобы возвести степень в степень, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Это свойство можно записать в виде формулы: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило к выражению $(a^2)^4$:

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

б) Сперва упростим множитель в скобках, используя свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $a^3 \cdot a^6$.

Далее, чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а показатели сложить, согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^3 \cdot a^6 = a^{3+6} = a^9$.

Ответ: $a^9$.

в) Упростим каждый из множителей по отдельности, применяя свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.

Теперь перемножим получившиеся степени, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^{10} \cdot a^4 = a^{10+4} = a^{14}$.

Ответ: $a^{14}$.

г) Упростим каждый множитель, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.

Таким образом, выражение можно переписать как: $a^9 \cdot a^9$.

Далее применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^9 \cdot a^9 = a^{9+9} = a^{18}$.

Ответ: $a^{18}$.

д) В первую очередь выполним действие в скобках. Для этого воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^3 a^3 = a^{3+3} = a^6$.

Теперь исходное выражение выглядит следующим образом: $(a^6)^2$.

Далее применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.

е) Сначала упростим выражение внутри скобок. Учтем, что любое число или переменная без показателя степени является степенью с показателем 1, то есть $a = a^1$. Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a \cdot a^6 = a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$.

Теперь исходное выражение принимает вид: $(a^7)^3$.

Наконец, применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^7)^3 = a^{7 \cdot 3} = a^{21}$.

Ответ: $a^{21}$.