Номер 466, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 466, страница 109.

466. Известно, что а < 0 и b > 0. Сравните с нулём значение выражения:

а) ab²;
б) a³b;

в) a²b;
г) ab³;

д) −ab³;
е) a² + b²;

ж) (a + b)²;
з) (a − b)².

По условию задачи дано, что $a < 0$ (a — отрицательное число) и $b > 0$ (b — положительное число). На основе этих данных сравним с нулём значения следующих выражений:

а) $ab^2$. Так как $b > 0$, то $b^2 > 0$ (квадрат любого ненулевого числа положителен). Произведение отрицательного числа ($a$) и положительного числа ($b^2$) является отрицательным. Таким образом, $ab^2 < 0$.
Ответ: $ab^2 < 0$.

б) $a^3b$. Так как $a < 0$, то $a^3$ будет отрицательным (отрицательное число в нечетной степени). Число $b$ положительно. Произведение отрицательного числа ($a^3$) и положительного числа ($b$) является отрицательным. Таким образом, $a^3b < 0$.
Ответ: $a^3b < 0$.

в) $a^2b$. Так как $a < 0$, то $a^2$ будет положительным (отрицательное число в четной степени). Число $b$ положительно. Произведение двух положительных чисел ($a^2$ и $b$) является положительным. Таким образом, $a^2b > 0$.
Ответ: $a^2b > 0$.

г) $ab^3$. Число $a$ отрицательное. Так как $b > 0$, то $b^3$ также будет положительным (положительное число в любой степени положительно). Произведение отрицательного числа ($a$) и положительного числа ($b^3$) является отрицательным. Таким образом, $ab^3 < 0$.
Ответ: $ab^3 < 0$.

д) $-ab^3$. Из предыдущего пункта мы выяснили, что $ab^3 < 0$. Выражение $-ab^3$ — это число, противоположное по знаку $ab^3$. Следовательно, если $ab^3$ отрицательно, то $-ab^3$ будет положительным. Таким образом, $-ab^3 > 0$.
Ответ: $-ab^3 > 0$.

е) $a^2 + b^2$. Так как $a < 0$, то $a^2 > 0$. Так как $b > 0$, то $b^2 > 0$. Сумма двух положительных чисел ($a^2$ и $b^2$) всегда является положительным числом. Таким образом, $a^2 + b^2 > 0$.
Ответ: $a^2 + b^2 > 0$.

ж) $(a+b)^2$. Выражение представляет собой квадрат числа $(a+b)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Значение выражения может быть равно нулю (например, если $a = -2, b = 2$) или быть положительным (например, если $a = -1, b = 3$ или $a = -3, b = 1$). Таким образом, $(a+b)^2 \ge 0$.
Ответ: $(a+b)^2 \ge 0$.

з) $(a-b)^2$. По условию $a$ — отрицательное число, а $b$ — положительное. Тогда $a-b$ — это разность отрицательного и положительного числа, что всегда дает отрицательное число (например, $-2 - 3 = -5$). Так как $a-b$ никогда не равно нулю, то его квадрат $(a-b)^2$ всегда будет строго положительным числом. Таким образом, $(a-b)^2 > 0$.
Ответ: $(a-b)^2 > 0$.