Номер 462, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

462. Упростите выражение:

а) $x^3 \cdot (x^2)^5$

Для упрощения данного выражения мы последовательно применим два свойства степеней.

1. Свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к выражению в скобках:

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

2. Свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Теперь подставим упрощенное выражение обратно и выполним умножение:

$x^3 \cdot x^{10} = x^{3+10} = x^{13}$

Ответ: $x^{13}$

б) $(a^3)^2 \cdot a^5$

Решение аналогично предыдущему пункту. Сначала упростим первый множитель.

1. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$

2. Теперь умножим полученный результат на второй множитель, используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}$

Ответ: $a^{11}$

в) $(a^2)^3 \cdot (a^4)^2$

В этом выражении нужно упростить каждый из множителей, а затем перемножить результаты.

1. Упростим первый множитель, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

2. Упростим второй множитель по тому же правилу:

$(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$

3. Перемножим полученные степени, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^6 \cdot a^8 = a^{6+8} = a^{14}$

Ответ: $a^{14}$

г) $(x^2)^5 \cdot (x^5)^2$

Данное выражение упрощается аналогично предыдущему.

1. Упростим первый множитель $(x^2)^5$ по правилу возведения степени в степень:

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

2. Упростим второй множитель $(x^5)^2$:

$(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$

3. Перемножим результаты, сложив показатели степеней:

$x^{10} \cdot x^{10} = x^{10+10} = x^{20}$

Ответ: $x^{20}$

д) $(m^2m^3)^4$

Здесь сначала нужно выполнить действие в скобках, а затем возвести результат в степень.

1. Упростим выражение в скобках, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$m^2m^3 = m^{2+3} = m^5$

2. Теперь возведем полученный результат в 4-ю степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(m^5)^4 = m^{5 \cdot 4} = m^{20}$

Ответ: $m^{20}$

е) $(x^4x)^2$

Действуем так же, как и в пункте д).

1. Упростим выражение в скобках $x^4x$. Следует помнить, что $x$ — это то же самое, что и $x^1$. Применим правило умножения степеней:

$x^4x = x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5$

2. Возведем полученную степень в квадрат по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$