Номер 506, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

506. В одной и той же системе координат постройте графики функций у = х² и у = х³, где х > 0. Пользуясь построенными графиками, сравните:

а) 0,6² и 0,6³; б) 1,5² и 1,5³; в) 2,7² и 2,7³.

Для решения этой задачи необходимо в одной системе координат построить графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при условии $x \ge 0$. Затем, основываясь на взаимном расположении этих графиков, сравнить предложенные числа.

1. Построение графиков

Сначала найдём несколько ключевых точек для каждой функции, чтобы построить их графики.

• Для функции $y=x^2$ (ветвь параболы):
  • если $x=0$, то $y=0$ > точка (0; 0)
  • если $x=0.5$, то $y=0.25$ > точка (0.5; 0.25)
  • если $x=1$, то $y=1$ > точка (1; 1)
  • если $x=2$, то $y=4$ > точка (2; 4)
• Для функции $y=x^3$ (ветвь кубической параболы):
  • если $x=0$, то $y=0$ > точка (0; 0)
  • если $x=0.5$, то $y=0.125$ > точка (0.5; 0.125)
  • если $x=1$, то $y=1$ > точка (1; 1)
  • если $x=2$, то $y=8$ > точка (2; 8)

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавными кривыми, мы получим графики обеих функций.

2. Анализ взаимного расположения графиков

Из построения и решения уравнения $x^2 = x^3$ (которое равносильно $x^2(x-1)=0$) видно, что графики пересекаются в двух точках: (0; 0) и (1; 1).

• На интервале $x \in (0, 1)$ график функции $y=x^2$ расположен выше графика $y=x^3$. Это означает, что для любого числа $a$ из этого интервала выполняется неравенство $a^2 > a^3$.
• На интервале $x \in (1, +\infty)$ график функции $y=x^3$ расположен выше графика $y=x^2$. Это означает, что для любого числа $a$ из этого интервала выполняется неравенство $a^3 > a^2$.

Теперь воспользуемся этими выводами для сравнения.

а) Нужно сравнить $0,6^2$ и $0,6^3$. Это эквивалентно сравнению значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, на этом интервале график $y=x^2$ лежит выше графика $y=x^3$. Следовательно, $0,6^2$ больше, чем $0,6^3$.
Ответ: $0,6^2 > 0,6^3$.

б) Нужно сравнить $1,5^2$ и $1,5^3$. Мы сравниваем значения функций при $x=1,5$. Так как $1,5 > 1$, на этом интервале график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x^2$. Следовательно, $1,5^2$ меньше, чем $1,5^3$.
Ответ: $1,5^2 < 1,5^3$.

в) Нужно сравнить $2,7^2$ и $2,7^3$. Мы сравниваем значения функций при $x=2,7$. Так как $2,7 > 1$, на этом интервале, как и в предыдущем пункте, график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x^2$. Следовательно, $2,7^2$ меньше, чем $2,7^3$.
Ответ: $2,7^2 < 2,7^3$.