Номер 511, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Параграф 7. Одночлены. 23. Функции у = х^2 и у = х^3 и их графики - номер 511, страница 120.

Условие.

511. Решите графически уравнение:

а) х³ = 4х; б) х³= −х + 3.

Решение 1.

а) х³ = 4х;
y = x³

x	0	1	2	-1	-2
y	0	1	8	-1	-8

y = 4x

x	0	1
y	0	4

Ответ: -2 и 2.

б) х³= −х + 3;
y = x³

x	0	1	2	-1	-2
y	0	1	8	-1	-8

y = -x + 3

x	0	3
y	3	0

Ответ: ≈ 1,2.

Решение 2.

а) $x^3 = 4x$

Для графического решения данного уравнения необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = 4x$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая симметрична относительно начала координат. Для её построения найдём значения для нескольких ключевых точек:
при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$; точка $(0, 0)$.
при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$; точка $(1, 1)$.
при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$; точка $(-1, -1)$.
при $x = 2$, $y = 2^3 = 8$; точка $(2, 8)$.
при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$; точка $(-2, -8)$.

2. Построим график функции $y = 4x$. Это прямая, проходящая через начало координат. Для её построения достаточно двух точек:
при $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 = 0$; точка $(0, 0)$.
при $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 = 4$; точка $(1, 4)$.

Совместим оба графика на одной координатной плоскости. Мы увидим, что они пересекаются в трех точках. Из вычисленных ранее координат видно, что это точки с абсциссами $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.
Проверка для $x = -2$: $(-2)^3 = -8$ и $4 \cdot (-2) = -8$. Верно.
Проверка для $x = 0$: $0^3 = 0$ и $4 \cdot 0 = 0$. Верно.
Проверка для $x = 2$: $2^3 = 8$ и $4 \cdot 2 = 8$. Верно.

Таким образом, абсциссы точек пересечения и являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.

б) $x^3 = -x + 3$

Для решения этого уравнения графически построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -x + 3$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Воспользуемся точками, вычисленными в предыдущем пункте: $(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (2, 8), (-2, -8)$.

2. График функции $y = -x + 3$ — это прямая. Для её построения найдём координаты двух точек, например, точек пересечения с осями координат:
при $x = 0$, $y = -0 + 3 = 3$; точка $(0, 3)$.
при $y = 0$, $0 = -x + 3$, откуда $x = 3$; точка $(3, 0)$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Функция $y=x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси, а функция $y = -x + 3$ — строго убывающей. Следовательно, их графики могут пересечься только в одной точке.

Из графика видно, что точка пересечения находится в первой координатной четверти. Оценим абсциссу этой точки:
При $x = 1$, значение первой функции $y = 1^3 = 1$, а второй $y = -1 + 3 = 2$.
При $x = 2$, значение первой функции $y = 2^3 = 8$, а второй $y = -2 + 3 = 1$.
Поскольку при $x=1$ график кубической параболы находится ниже прямой, а при $x=2$ — выше, то точка их пересечения имеет абсциссу, лежащую в интервале $(1, 2)$. Визуально по графику можно определить, что абсцисса точки пересечения приблизительно равна 1,2.

Ответ: $x \approx 1,2$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.