Номер 510, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

510. (Для работы в парах.) Используя график функции у = х³, изображённый на рисунке 78 (с. 117), решите уравнение:

1) Распределите, кто выполняет задания а), г), а кто − задания б), в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения х³ = а при различных значениях а.

Для решения уравнений вида $x^3 = a$ графическим методом необходимо найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения графика функции $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = a$.

а) $x^3 = 8$

Чтобы решить это уравнение, мы ищем точку пересечения графика функции $y = x^3$ с прямой $y = 8$. Находим на оси ординат значение 8, проводим из этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком функции. Затем из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Поскольку $2^3 = 8$, точка пересечения графиков имеет координаты $(2, 8)$. Следовательно, искомое значение $x$ равно 2.

Ответ: $x = 2$.

б) $x^3 = -1$

Ищем точку пересечения графика $y = x^3$ с прямой $y = -1$. На оси ординат находим значение -1, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком в третьей координатной четверти. Из полученной точки пересечения проводим перпендикуляр к оси абсцисс. Так как $(-1)^3 = -1$, точка пересечения имеет координаты $(-1, -1)$. Таким образом, корень уравнения — это $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

в) $x^3 = 5$

Решаем уравнение, находя пересечение графика $y = x^3$ с прямой $y = 5$. На оси ординат находим значение 5. Проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Точка пересечения будет иметь ординату 5, а ее абсцисса будет решением уравнения. По графику можно определить, что значение $x$ находится между 1 (так как $1^3=1$) и 2 (так как $2^3=8$). Точное значение этого корня записывается как кубический корень из 5.

Ответ: $x = \sqrt[3]{5}$.

г) $x^3 = 0$

Ищем точку пересечения графика $y = x^3$ с прямой $y = 0$. Прямая $y=0$ — это сама ось абсцисс. График функции $y = x^3$ пересекает ось абсцисс в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$. Следовательно, решение уравнения — это $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

3) Вывод о числе корней уравнения $x^3=a$ при различных значениях $a$.

График функции $y = x^3$ является непрерывным и монотонно возрастающим на всей числовой прямой. Его область значений — все действительные числа. Это означает, что любая горизонтальная прямая $y = a$, где $a$ — любое действительное число, пересечет график функции $y = x^3$ ровно в одной точке. Абсцисса этой точки и будет единственным решением уравнения $x^3 = a$.
Рассмотрим разные случаи: - если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график в первой четверти, и уравнение имеет один положительный корень $x = \sqrt[3]{a}$; - если $a = 0$, прямая $y=0$ пересекает график в начале координат, и уравнение имеет один корень $x = 0$; - если $a < 0$, прямая $y=a$ пересекает график в третьей четверти, и уравнение имеет один отрицательный корень $x = \sqrt[3]{a}$.
Таким образом, для любого действительного значения $a$ уравнение $x^3 = a$ всегда имеет ровно один действительный корень.

Ответ: Уравнение $x^3 = a$ имеет ровно один корень при любом значении $a$.