Номер 512, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Параграф 7. Одночлены. 23. Функции у = х^2 и у = х^3 и их графики - номер 512, страница 120.

Условие.

512. Сравните значения выражений:

а) 0,3¹⁶ и (−0,3)¹⁶;
б) (−1,9)²¹ и 1,9²¹;
в) −5,6⁴ и (−5,6)⁴;

г) (−1,4)⁶ и −1,4⁶;
д) −64 и −2⁶;
е) −0,8¹¹ и (−0,8)¹¹.

Решение 1.

а) 0,3¹⁶ = (−0,3)¹⁶;

б) (−1,9)²¹ < 1,9²¹;

в) −5,6⁴ < (−5,6)⁴;

г) (−1,4)⁶ > −1,4⁶;

д) −64 = −2⁶, т.к. −2⁶ = -64;

е) −0,8¹¹ = (−0,8)¹¹.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сравним значения выражений $0,3^{16}$ и $(-0,3)^{16}$.
Возведение любого числа в четную степень дает в результате неотрицательное число. В данном случае показатель степени 16 является четным числом. Для любого числа $a$ и четного показателя степени $2n$ справедливо равенство $(-a)^{2n} = a^{2n}$.
Применяя это правило, получаем: $(-0,3)^{16} = 0,3^{16}$.
Следовательно, значения выражений равны.
Ответ: $0,3^{16} = (-0,3)^{16}$.

б) Сравним значения выражений $(-1,9)^{21}$ и $1,9^{21}$.
Возведение отрицательного числа в нечетную степень дает в результате отрицательное число. Так как показатель степени 21 является нечетным, то $(-1,9)^{21}$ будет отрицательным числом.
Выражение $1,9^{21}$ является степенью положительного числа, поэтому его значение положительно.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Ответ: $(-1,9)^{21} < 1,9^{21}$.

в) Сравним значения выражений $-5,6^4$ и $(-5,6)^4$.
В выражении $-5,6^4$ сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса. То есть, $-5,6^4 = -(5,6^4)$. Так как $5,6^4 > 0$, то значение выражения $-5,6^4$ отрицательно.
В выражении $(-5,6)^4$ отрицательное число -5,6 возводится в четную степень 4, поэтому результат будет положительным: $(-5,6)^4 = 5,6^4 > 0$.
Отрицательное число всегда меньше положительного.
Ответ: $-5,6^4 < (-5,6)^4$.

г) Сравним значения выражений $(-1,4)^6$ и $-1,4^6$.
В выражении $(-1,4)^6$ отрицательное число -1,4 возводится в четную степень 6, следовательно, результат будет положительным: $(-1,4)^6 = 1,4^6 > 0$.
В выражении $-1,4^6$ сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса: $-1,4^6 = -(1,4^6) < 0$.
Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $(-1,4)^6 > -1,4^6$.

д) Сравним значения выражений $-64$ и $-2^6$.
Вычислим значение выражения $-2^6$. Согласно порядку выполнения операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем — унарный минус (отрицание).
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Следовательно, $-2^6 = -64$.
Таким образом, значения выражений равны.
Ответ: $-64 = -2^6$.

е) Сравним значения выражений $-0,8^{11}$ и $(-0,8)^{11}$.
В выражении $-0,8^{11}$ сначала выполняется возведение в степень, а затем ставится знак минус: $-0,8^{11} = -(0,8^{11})$.
В выражении $(-0,8)^{11}$ отрицательное число возводится в нечетную степень 11. Результат будет отрицательным. Для любого числа $a$ и нечетного показателя степени $2n+1$ справедливо равенство $(-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}$.
Следовательно, $(-0,8)^{11} = -0,8^{11}$.
Значения выражений равны.
Ответ: $-0,8^{11} = (-0,8)^{11}$.