Номер 5, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 5, страница 120.

5 Сформулируйте свойства функции у = х³. Как отражаются эти свойства на графике функции у = х³?

Область определения и область значений

Функция $y = x^3$ определена для любого действительного числа $x$, так как возведение в куб является операцией, определенной для всех действительных чисел. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Значения функции также могут быть любыми действительными числами. Для любого числа $a$ можно найти такое $x$, что $x^3 = a$ (а именно, $x = \sqrt[3]{a}$). Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
На графике эти свойства отражаются тем, что он является сплошной линией, которая бесконечно продолжается влево и вправо вдоль оси $Ox$ и бесконечно продолжается вверх и вниз вдоль оси $Oy$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Графически это означает, что график функции — это непрерывная кривая, простирающаяся бесконечно вдоль обеих координатных осей.

Четность

Функция является нечетной. Проверим это, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция нечетная.
На графике это свойство проявляется в виде центральной симметрии относительно начала координат — точки $(0; 0)$. Это значит, что если точка $(a; b)$ принадлежит графику, то и точка $(-a; -b)$ также принадлежит ему. Например, на графике лежат точки $(2; 8)$ и $(-2; -8)$.

Ответ: Функция нечетная. График функции симметричен относительно начала координат.

Точки пересечения с осями координат (нули функции)

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ подставим $x=0$ в уравнение функции: $y = 0^3 = 0$.
Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (нулей функции) приравняем $y$ к нулю: $x^3 = 0$, откуда $x = 0$.
Таким образом, функция имеет единственную точку пересечения с обеими осями — начало координат $(0; 0)$.
На графике это означает, что он проходит через точку $(0; 0)$.

Ответ: Единственная точка пересечения с осями и единственный нуль функции — точка $(0; 0)$. График проходит через начало координат.

Промежутки знакопостоянства

Найдем, на каких промежутках функция принимает положительные и отрицательные значения.
$y > 0 \implies x^3 > 0 \implies x > 0$. Функция положительна на интервале $(0; +\infty)$.
$y < 0 \implies x^3 < 0 \implies x < 0$. Функция отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$.
На графике это отражается тем, что при $x > 0$ он расположен выше оси абсцисс (в I координатной четверти), а при $x < 0$ — ниже оси абсцисс (в III координатной четверти).

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. График расположен в I и III координатных четвертях.

Монотонность

Функция $y = x^3$ является строго возрастающей на всей области определения. Это можно показать, взяв производную: $y' = (x^3)' = 3x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y' = 3x^2 \ge 0$. Производная равна нулю только в одной точке $x=0$, а на остальных промежутках она положительна, следовательно, функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
На графике это свойство проявляется в том, что при движении по нему слева направо (в направлении увеличения $x$) кривая всегда поднимается вверх.

Ответ: Функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. График монотонно возрастает на всем своем протяжении.

Экстремумы и точки перегиба

Поскольку функция является монотонно возрастающей, она не имеет точек локального максимума или минимума (экстремумов).
Для исследования выпуклости найдем вторую производную: $y'' = (3x^2)' = 6x$.
При $x < 0$, $y'' < 0$, следовательно, график функции является выпуклым (направлен выпуклостью вверх).
При $x > 0$, $y'' > 0$, следовательно, график функции является вогнутым (направлен выпуклостью вниз).
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, точка $(0; 0)$ является точкой перегиба.
На графике это видно по изменению направления изгиба кривой: слева от оси $Oy$ она изгибается как "холм", а справа — как "чаша". Точка $(0; 0)$ является точкой, где это изменение происходит.

Ответ: Функция не имеет экстремумов. График является выпуклым на $(-\infty; 0)$ и вогнутым на $(0; +\infty)$. Точка $(0; 0)$ — точка перегиба.