Номер 516, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 516, страница 123.

516. Докажите, что значение выражения является составным числом:

а) 15⁹ + 31³; б) 16⁷ + 25⁵ − 41⁴.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $15^9 + 31^3$ является составным, достаточно показать, что оно имеет делитель, отличный от 1 и самого себя. Число 15 является нечетным, поэтому любая его натуральная степень, в том числе $15^9$, также является нечетным числом. Аналогично, число 31 нечетное, и его степень $31^3$ тоже нечетная. Сумма двух нечетных чисел ($15^9$ и $31^3$) является четным числом. Так как $15^9 > 2$ и $31^3 > 0$, их сумма $15^9 + 31^3$ — это четное число, большее 2. Любое четное число, большее 2, делится на 2, следовательно, является составным. Ответ: Значение выражения $15^9 + 31^3$ является четным числом, большим 2, и поэтому является составным.

б) Для доказательства того, что значение выражения $16^7 + 25^5 - 41^4$ является составным, проанализируем его последнюю цифру.

• Последняя цифра числа $16^7$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6.
• Последняя цифра числа $25^5$: любая натуральная степень (больше 1) числа, оканчивающегося на 5, оканчивается на 5.
• Последняя цифра числа $41^4$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, оканчивается на 1.

Последняя цифра суммы $16^7 + 25^5$ равна последней цифре суммы $6+5=11$, то есть 1.Последняя цифра всего выражения $16^7 + 25^5 - 41^4$ равна последней цифре разности $(...1) - (...1)$, то есть 0.Число, оканчивающееся на 0, делится на 10. Необходимо убедиться, что результат не равен нулю и больше 10. Сравним $16^7$ и $41^4$. Так как $16^7 = (2^4)^7 = 2^{28}$, а $41^4 < 64^4 = (2^6)^4 = 2^{24}$, то очевидно, что $16^7 > 41^4$. Следовательно, $16^7 - 41^4 > 0$, и всё выражение $(16^7 - 41^4) + 25^5$ является положительным числом.Поскольку значение выражения — это положительное целое число, оканчивающееся на 0, оно делится на 10 и, очевидно, больше 10, а значит, является составным. Ответ: Значение выражения $16^7 + 25^5 - 41^4$ является положительным целым числом, оканчивающимся на 0, поэтому оно делится на 10 и является составным.